本文是对前一篇文章《绊倒我们前行的六个思维暗箱》（网页链接）中“波动的波动”一节进一步的量化分析与解释。（事实上本文成形于六年前，更多是自我研究，因偏量化学术本也没打算发出来，因在上一篇中很多人对这个问题疑问较多，特发出来供大家参考与探讨）

正文：

“平均的收益”与“可能的收益”在正态分布中是相等的，但却是完全不同的一对概念。实际上，“偏态分布”在投资中比“正态分布”更为普遍，两者的混淆会对实际投资结果造成很大的危害。本文从零和游戏模型出发，深入研究了偏态分布的性质与应对策略，并对传统的随机游走模型提出质疑。

1． “平均的收益”与“可能的收益”

“平均的收益”是所有可能出现收益的加权平均值，即“期望”；“可能的收益”是最有可能获得的收益，近似于正态分布中的“众数”。
比如，在一项投资中，你有80%的概率亏损10%，有20%的概率盈利100%。你“平均的收益”为盈利12%，同时，很明显，你“可能的收益”为亏损10%。这两者的不同，直接影响着我们的决策。

2． 零和游戏的偏态分布

假设一种零和游戏模型：一项游戏，每次全额下注，有50%概率盈利20%，50%概率亏损20%。许多人一同玩这项游戏，你的亏损即为别人盈利。从整体来看，这项游戏是“零和”的，对于每一位参与者，不论进行多少次游戏，其平均的收益为零。
现在用模拟软件对单个参与者进行10次游戏后的结果进行模拟，假设本金为10000元。

可以看到，10次游戏后单个参与着将有62.98%的概率遭受亏损。并且随着游戏的继续进行，亏损的概率将越来越大，整个收益结果的分布呈偏态分布。
如果游戏设置为有50%概率盈利100元，50%概率亏损100元。那么根据二项式定理，收益的分布将会服从正态分布。而上面的收益分布为“偏态分布”。
如果游戏无限次进行下去，那么参与者最可能的结果无限接近于零。偏态分布是“久赌必输”的根本原因。偏态分布的产生的原因在于：后一次的结果建立在前一次结果之上。换句话说，是由于参与者的资本是有限的。

3． 随机游走模型与偏态分布

在这里我们不讨论股票价格走势是不是严格服从随机游走模型，至少在多数时候，我们可以近似地认为股票价格是随机游走的。这并不影响我们的结论。 
股价随机游走模型公式：dS=μSdt+σSdz
随机游走理论认为股票价格服从几何布朗运动，股票的收益在某一段时间内是符合正态分布的。模型中通过添加服从N（0，1）的正态分布因子σ，来描述收益率的正态分布。本文对传统的随机游走模型提出质疑：假设时间t股票收益是服从正态分布的，那么时间经过2t，股票收益的分布必然是偏态的。

假设股票A，在时间t 的收益服从正态分布N（0，0.1），这里不考虑增长因子。我们用软件对时间10t后的收益分布进行了模拟。


可以看到，时间10t后，股票A的收益有55.8%概率为负值，虽然其期望仍为10000，但收益呈偏态分布。
可以得出结论：“偏态分布”效应是多数投资者长期遭受亏损的一个重要原因，在很大程度上解释了股票投资“二赚一平七赔”的收益分布结果。
从企业的生命周期与兴衰来看，其与股票长期收益偏态分布是相互符合的。长期持有一只股票的结果大概率是亏损的（二十年后大多数企业都不见了），而仅有少数公司会实现几何式的增长收益。

4． 偏态分布的性质

不仅仅是随机游走，只要股票收益是服从某种概率分布，多次投资后收益的分布就具有偏态效应。
通过模拟与计算，可以得出偏态分布具有以下主要性质：
4.1偏态效应与单次投资波动率正相关。
4.2偏态效应与投资的次数正相关。
4.3偏态效应与盈利与亏损的概率对称程度正相关。
（以上结论均经作者通过软件模拟得出）

5． 偏态分布的应对策略

5.1通过分散投资可以使投资“可能的收益”无限逼近于“平均的收益”。并且各种标的间的相关系数越低，降低偏态效应的效果就越好。
5.2通过仓位控制可以使“可能的收益”达到最大。
比如，一项投资有50%的概率盈利200%，有50%的概率亏损80%。显然多次进行这项投资，“可能的结果”将趋近于0。然而如果我们每次拿出总资金的50%进行投资，那么投资的收益变为有50%的概率盈利100%，有50%的概率亏损40%。这样的投资从长期来讲，“可能的结果”会不断的变大。
我么可以推过数学模型推导出一项投资的最佳仓位值，假设某项投资有p的概率收益α，有（1-p）的概率亏损β，仓位为x。那么可能的收益为：
μ=(1+αx)p ·(1-βx)(1-p)
求导得出使μ最大的x值（证明过程从略）：
x=[p ·α-(1-p) ·β]/ α·β
在实际投资过程中，我可以利用分散投资降低股票的非系统性偏态效应；通过仓位控制降低股票的系统性偏态效应。

仓位控制可以使“可能的结果”最大化，但同时低的仓位会降低“平均的结果”。事实上，我们需要在“平均的收益”与“可能的收益”之间进行权衡。毕竟，衡量投资的是一系列可能收益的分布，而不是某个单项指标。厚尾分布甚至于“黑天鹅”现象都是我们进行投资时需要考虑的。

（对从开头看到此处的球友表示敬意）

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