作者： @慢慢变
一、定义
P- 股票价格
D- 第0年度普通股分红
B- 第0年度普通股分红后净资产, (普通股每股净资产Bps=B+D)
E- 第0年度普通股分红后净利润,（普通股每股利润Eps=E+D）
r- 全面摊薄净资产收益率 =（E+D)/(B+D)
f- 分红率= D/(E+D)
v-股息率=D/P =f/Pe
Pb- 静态市净率= P/(B+D)
PB- 分红后市净率=P/B
Pe- 静态市盈率=P/(E+D)
PE-分红后市盈率=P/E
由：r=(E+D)/(B+D)， f=D/(E+D)
得：r*f=D/(B+D),
由：1-r*f= B/(B+D), 1/(1-r*f)=1+D/B,
得：D/B=1/(1-r*f) -1 = r*f/(1-r*f)
由：f*(E+D)=D, D/E= f/(1-f)，
得：E/B= (r-r*f)/(1-r*f), PB/PE=E/B = (r-r*f) / (1-r*f)
由：(B-E)/E= B/E-1 =(1-r*f)/(r-r*f) -1 = (1-r)/(r-r*f)
得：E/(B-E)=r/(1-r)*(1-f)
由：PB/Pb=(B+D)/B=1+D/B= 1+ r*f/(1-r*f)= 1/(1-r*f)
得：PB= Pb/(1-r*f) =Pe*r/(1-r*f)
由：PE/Pe=(B+D)/E= B/E +D/E =（1-r*f)/(r-r*f) + f/(1-f) = 1/(r-r*f)
得：PE=Pe/(r-r*f)
二、假设
假设1：第0年到第n年：r保持不变，f保持不变，第0年分红前买入，买入价P，第n年年报后分红前卖出, 分红再投买入时Pe，PB不变，卖出时Pe，PB不变。
假设2：分红后利润等于净资产增加额。（实际上，由于其他综合收益、盈余公积等原因，分红后净利润通常不等于净资产增加额，但是如果在一个长的时间段内（例如5年、10年），两者之间通常比较接近）
三、以利润增长率、股息率、静态市盈率计算投资收益率
第0年分红前买入1股，投资金额为P=Pe*(E+D)
用第0年分红后买入的股数=D/P买=v = f/Pe股
P买为分红买入时的价格 (这里假设P买=P)
买入后总共有股票数量=1+f/Pe =1+v
设g1为第1年利润增长率，g1=（E1+D1)/(E+D) -1
第1年分红前卖出，设卖出静态市盈率为Pe1
卖出时的股票数量=1+f/Pe =1+v
卖出时的股票价格=Pe1*(E1+D1)=Pe1*(E+D)*(1+g1)
卖出总金额P1 =Pe1*(E+D)*(1+g1)*(1+v)
投资收益率 a =P1/P -1
投资收益率 a=Pe1/Pe*(1+g1)*(1+v)-1
在假设1下，g1=g, Pe1=Pe，
投资收益率 a= g + (1+g)*f/Pe = g + (1+g)*v
公式理解：在假设1下，投资收益率= 1年后股票增加的市值 + 用分红买入的股票1年后的市值 = 利润的增长率 + 股息带来的增长率
由于，a= g + (1+g)*f/Pe
有，(a-g)/(1+g)=f/Pe
得到：Pe=f*(1+g)/(a-g)
P=D*(1+g)/(a-g)
公式理解：永续经营的公司的内在价值等于它的未来分红的现值。
四、以分红后净资产增长率、股息率、分红后市净率计算投资收益率
第0年分红前买入1股，投资金额为P=PB*B
用第0年分红后买入的股数=D/P买=v = f/Pe股
P买为分红买入时的价格 (这里假设P买=P)
买入后总共有股票数量=1+f/Pe =1+v
设b1为第1年的分红后净资产(留存净资产)的增长率，b1=B1/B-1
第1年分红前卖出，设卖出分红前市净率为PB1
卖出时的股票数量=1+f/Pe =1+v
卖出时的股票价格= PB1*B1 =PB1*(1+b1)*B
卖出总金额P1 =PB1*(1+b1)*B*(1+v)
投资收益率 z =P1/P -1 =PB1/PB*(1+b1)*(1+v)-1
投资收益率 z=PB1/PB *(1+b1)*(1+v)-1
在假设2下，B1-E1=B,
b1=E1/(B1-E1)= r1/(1-r1)*(1-f1)
在假设1和假设2下，B1/B-1=B/B上期-1 =b 保持不变
b=E/(B-E) = r/(1-r)*(1-f)
所以，z= (1+v)*(1+ r/(1-r)*(1-f)) -1
由于 v= f/Pe
z= (1+f/Pe)*(1+ r/(1-r)*(1-f)) -1 = 1+r/(1-r)*(1-f) + f/Pe*(1+ r/(1-r)*(1-f)) -1
由于 Pe=PB*(1-r*f)/r
z= r/(1-r)*(1-f) + r/(1-r)*f/PB
z= r/(1-r)*(1-f + f/PB)
投资收益率 z= r/(1-r)*(1-f) +r/(1-r)*f/PB
公式理解：在假设1和2下，投资收益率 = 留存净资产的收益率 + 用分红买入的净资产的收益率
五、两种投资收益率的关系
1- 两种投资收益率计算的结果相等。
由于 P1/P -1 = a = z
所以，Pe1/Pe*(1+g1)*(1+v)-1 = PB1/PB *(1+b1)*(1+v)-1
在假设2下，b1=E1/(B1-E1)= r1/(1-r1)*(1-f1)，
由于 PB= Pb/(1-r*f) =Pe*r/(1-r*f)
所以，（1+g1) / (1+b1) = (r1*(1-r*f)) / (r*(1-r1*f1))
在假设1和假设2下，由于r, f 保持不变，g1=b1=g=b = E/(B-E) = r/(1-r)*(1-f)
例1：留存利润逐年增长，g>0
第0年：B=10， E=2， b=E/(B-E)= 0.25
第1年：B1=12.5，E1=2.5， b1=E1/(B1-E1)=E1/B=2.5/10=0.25，g1=E1/E-1 =0.25
第3年：B2=15.625，E2=3.125，b2=E2/(B2-E2)=E2/B1=3.125/12.5=0.25，g2=E2/E1-1 =0.25
例2：留存利润逐年持平，g=0
第0年：B=10， E=2， b=E/(B-E)= 0.25
第1年：B1=12，E1=2，b1=E1/(B1-E1)=E1/B=0.20，g1=E1/E-1 =0
第3年：B2=14，E2=2，b2=E2/(B2-E2)=E2/B1=0.167，g2=E2/E1-1 =0
例3：留存利润逐年递减，g<0
第0年：B=10， E=2， b=E/(B-E)= 0.25
第1年：B1=11，E1=1，b1=E1/(B1-E1)=E1/B=0.10，g1=E1/E-1 = -0.50
第3年：B2=11.5，E2=0.5，b2=E2/(B2-E2)=E2/B1=0.046，g2=E2/E1-1 = -0.50
可见，只有在留存利润逐年增长，g>0，g=b才有可能。
2- 在第0年g=b>0，且每年保持恒定不变时，
a=(1+g)*(1+f/Pe)-1 =g +f/Pe +g*f/Pe
=g +f/Pe*(1+g) =g +f/Pe*(1-r*f)/(1-r)
z= r/(1-r)X(1-f) +r/(1-r)*f/PB
由于，PB= Pb/(1-r*f) =Pe*r/(1-r*f)
所以，1/Pe = 1/PB* r/(1-r*f) 代入a式，
a= g+ r/(1-r)*f/PB = z
结论：在第0年g=b>0，且每年保持恒定不变时，则：a=z
3- 假设g(n+1) >= bn, 下一期的b(n+1)将会怎样呢？
由，1+g(n+1) >= 1+bn
E(n+1)/En >= Bn / B(n-1),
两边同时乘以En/Bn (在留存利润En为正时，这是一个正值）
E(n+1) / Bn >= En / B(n-1)
b(n+1) >= bn
结论：如果预估结果显示，下一期的净利润增长率g(n+1)将大于等于本期分红后净资产增长率b，则可以确定，分红后净资产增长率的下期值b(n+1)将大于等于本期值b。也就是说，增长将加速。
即：若 g(n+1) >= bn， 则 b(n+1) >= bn
同理可以证明：若 g(n+1) < bn， 则 b(n+1) < bn
例：2019年4月4日贵州茅台公告称，第一季度归属于上市公司的净利润同比增加30%左右。
即：(E1+D1) /(E+D) =30%, 假设分红率f=En/(En+Dn)保持不变，Dn=En*f/(1-f)代入，
得, E1/E=g=30%
2018年度贵州茅台摊薄 r 为31.2%，分红率 f 为51.9%，由b=r/(1-r)*(1-f)计算出分红后净资产增长率b为21.8%.
g=30% > 21.8%=b, 如果2019年其余季度保持同样的g, 2019年的b将进一步增加，增长将加速。
4- a 的变化先于 z 的变化，使得 a 对估值变化更为灵敏。
投资收益率 z= r/(1-r)X(1-f) +r/(1-r)*f/PB 以 r, PB来计算，而 r 这个比率是以净资产为分母，基数较大，所以, z 的变化通常比较缓慢，时滞较大。
投资收益率 a= g + (1+g)*f/Pe 以 g, Pe来计算，而 g 这个比率是以上年利润为分母，基数较小，所以， a 的变化通常比较剧烈，时滞较小。
a 的变化先于 z 的变化，使得 a 对估值变化更为灵敏。
六、净利润增长率g与净资产增长率b的关系
1- 假设g保持不变，b将趋近于g
g=E1/E-1=...=Ei/E(i-1) -1=... =En/E(n-1)-1
E1=(1+g)*E
En=(1+g)^n * E
b1=E1/(B1-E1) = E1/B =(1+g)*E/B
b2=(1+g)*E1/B1=(1+g)^2*E/B1
b3=(1+g)^3*E/B2
...
bn=(1+g)^n * E/B(n-1)
b(n+1) = (1+g)^(n+1) * E/Bn
Bn =B(n-1) + En =B+E1 +E1+E2+...+En
等比数列求和：
E1+E2+...En = E1*(1-（1+g)^n/(1-(1+g))
=E1*((1+g)^n -1)/g
=(1+g)/g * E * ((1+g)^n -1))
=E/g * ((1+g)^(n+1) -1-g)
b(n+1)=(1+g)^(n+1)*E / Bn
=(1+g)^(n+1)*E / (B + E/g * ((1+g)^(n+1) -1-g)）
=(1+g)^(n+1)*E / (B-E +E/g * ((1+g)^(n+1) -1))
n趋近于无穷大时，b(n+1)= g
例1：
E1=105, E=100, B=870,
g=105/100-1=5%
b=100/(870-100)=13%
如果：g=5% 不变
b1= E1/B = 12.1%
b2= E2/B1 =E1*1.05/(B+E1) =105*1.05/(870+105) =11.3%
....
b15= 1.05^16*100/(870-100+100/0.05*(1.05^51-1)) =7%
b50= 1.05^51*100/(870-100+100/0.05*(1.05^51-1)) =5.3%
b100= 1.05^101*100/(870-100+100/0.05*(1.05^101-1)) =5.0%
2- 假设b保持不变，g将从下期开始等于b
b= E/(B-E)不变，则：E2/(B2-E2) =E1/(B1-E1)
所以，E2/E1 = (B2-E2)/(B1-E1)
根据假设2，B2-E2=B1，B1-E1=B,
所以，E2/E1=B1/B
g2=E2/E1-1 = (B1-B)/B = E1/B =E1/(B1-E1) =b1
所以gi=b (i>1)
例2：
E=10, B=110 b=E/(B-E)=10%
E上期=8，
g=（E-E上期）/E上期 =（10-8）/8=25%
b=10%= E1/B, E1=10% * 110=11, B1=B+E1=110+11=121
g1=(E1-E)/E = (11-10)/10= 10%
b= 10% = E2/B1, E2=10%x121=12.1
g2=(E2-E1)/E1=(12.1-11)/11 = 10%
...
3- 如果g=b保持不变，则两种投资收益率计算的结果相同（上节已经叙述）
结论：
1- 净利润的增加导致了净资产的增加。净利润增长率导致净资产增长率的变化。
2- 净利润增长率g的变化引起的净资产增长率b的变化是十分缓慢的。
3- 净资产增长率b是偏静态的指标，只适合在ROE, 分红率保持不变时计算收益率。这之后每年g=b.
4- 净利润增长率a是偏动态的指标，适合动态计算收益率。
5- 如果某年g>b, 则说明之前增长加速。如果g<b，则说明之前增长放缓。
6- 过去n年的复合利润增长率 = ((1+g1)*(1+g2)*...*(1+gn))^(1/n) -1
如果现在的 g>复合利润增长率，则表明现在增长处于上升趋势，好于历史平均水平。
作者申明：本文为作者原创，所有权利归属于作者@慢慢变。