关于“长期定投”预期收益率的模型分析

这两天回应 @归隐林地 关于定投收益率的讨论，其实这个问题在我两年前的旧贴《韭菜能靠定投逆袭吗？》中已经有详尽的说明，并且得出了否定的答案。这里再对其中的几个结论进行下模型分析。

先说下结论：长期定投指数的预期收益率就是指数的年化涨幅，并且受结算/退出时点的影响较大。（不受起始点的影响）

既然是模型，就要有些基本假设和近似。根据价投的“遛狗”理论，价格是围绕价值波动的，首先假设指数的价值中枢也是指数型增长。

上图中，红色虚线代表虚拟的指数价值中枢。上轨和下轨对应+50%和-33.3%的波动区间。换成下图中的对数坐标会更加明确些，价值中枢、上轨、下轨变成了等间距的直线。

最基本的无脑定投，就是等间隔地把一份份钱买入指数。分别考察每一笔投资的收益情况。第i次投资的成本：

其中V0是最初的价值中枢，也就是图中开始定投时红色虚线的起点；r是指数的收益率，假设年化10%，那么按月算就是8‰，也就是图中红色虚线的斜率；V0*r^i是当前的价值中枢，也就是图中的红色虚线上第i个时间点；αi是相对价值中枢的偏离程度，也就是图中相对于红色虚线的偏离程度。当在第z个时间点清仓时，（先假设结算价Pz正好在价值中枢上的情况，也就是图中红色虚线的终点）:

那么这一份投资的收益率就是：

对应的年化收益率Ri（等号两边开z-i次根号）：

当 z >> i，也就是定投时间足够长，比如20、30年，乘号后面一项接近1。也就是这一份投资的年化收益率 Ri 接近指数的收益率 r。这个也好理解，买的时候可能是在大幅高估或低估的情况，但是这个幅度是个常量，经过多年的年化处理（开根号）会逐渐失去影响。再考虑无脑定投是不管高低、随机买入，对应各份投资的估值波动 αi 可正可负，最终大幅度抵消。因此长期看，无脑定投的收益，跟投入的时间点没啥关系，只跟指数收益率有关。从实际数据的测试上也可以看到这个现象：定投时间越长，投资的年化收益率越稳定。这也解释了所谓定投收益“钝化”的现象。

接下来再看清仓点估值对收益率的影响。如果清仓价格不是正好在价值中枢上（这个才是最普遍状况），清仓时对应的估值水平是αz，也就是相对红色虚线终点的偏离程度，则清仓价格：

对应第i份投资的年化收益率都会多出个同时大于（或小于）1 的系数：

虽然如果时间足够长，这个系数对年化收益率的影响也可以忽略，但是它的影响是同向的，不像各个 αi 能大幅互相抵消，在比较精细判断的时候，还是会对最终的年化收益有些影响（1-3个百分点）。因此结算点的估值对整体的年化收益率水平还是有较大影响。也就是说 Ri 的三个部分中，第一项指数收益率 r 是决定性的，第二项会对年化收益率有些影响，而多个叠加后第三项的影响则可以忽略。

综上，长期无脑定投的预期收益率就是所投指数的收益率，跟投资起点无关，受结算点的估值影响较大。