Twists
Chapter 3.3.2 part 1
1、定义：任何刚体的速度，无论是由线性运动（平动）组成的部分还是由角速度（旋转）组成的部分，都可以等效地表示为围绕某个螺旋轴的瞬时速度。
2、表示：
1）轴上的一点q、指向轴方向的单位向量s以及螺距h。螺距是沿轴线的线性速度与绕轴线的角速度之比。
2）表示旋转轴：我们选择一个参考坐标系（Spacial或者Boby），并将旋转轴 S 定义为该坐标系中的一个六维向量
a、"S-omega" 表示三维空间中的单位角速度矢量。单位角速度是指在单位时间内旋转的角度或弧长。这个矢量描述了当旋转速度（通常以弧度每秒或度每秒为单位）为1时，物体的旋转方向和速度。（我觉得角速度和旋转速度绝对值是一样的，只不过角速度是矢量，旋转速度是标量）
b、"S_v" 表示三维空间中的线性速度矢量，通常用于描述物体上某一点的速度。在这个上下文中，它描述的是坐标系的原点（frame origin）在旋转速度为1时的线性速度。
3）表示twist：这个theta点我认为是t=1时，旋转了多少度，也是一种速度
3、总结。V是最后要研究的值，S更像是一个中间变量。
3、twist的类别
我的问题和解答：
1、S表示旋转轴，但是S又可以分为是spacial的旋转轴，和body的旋转轴。这两个有什么区别？
Spatial（空间）坐标系和旋转轴：
Spatial坐标系通常是一个全局坐标系，用于描述世界坐标系或参考坐标系。它通常是一个固定的坐标系，相对于外部环境或世界是不变的。
Spatial坐标系中的旋转轴描述物体的绕空间坐标系的旋转，通常用于描述物体在全局坐标系中的运动。
Body（本体）坐标系和旋转轴：
Body坐标系通常与物体（例如机器人手部、机械臂等）的自身相关联，它随着物体的运动而变化。它通常与物体的几何结构或构造有关。
Body坐标系中的旋转轴描述物体的绕本体坐标系的旋转，通常用于描述物体内部的旋转和运动。
需要注意的是，Body坐标系通常是相对于Spatial坐标系的一个局部坐标系。
另外注意，S可以是screw，也可以是spacial
2、线性速度要怎么理解？
螺旋轴（screw axis）的线性速度描述了刚体绕螺旋轴的平动（线性运动）速度。刚体绕螺旋轴的平动速度是指刚体在绕螺旋轴进行旋转运动的同时，某一点（通常是刚体上的一点）在空间中的线性运动速度。这个线性速度不是沿着螺旋轴的方向，而是与螺旋轴垂直的方向。速度的大小取决于点到螺旋轴的距离。
3、旋转矩阵的角速度和钢体扭转运动的角速度有什么区别？
旋转矩阵的角速度（Angular Velocity）：旋转矩阵的角速度通常表示为一个3x3的矩阵，用于描述机器人末端执行器的旋转速度。这个矩阵表示了旋转部分的速度，即机器人如何绕其自身坐标系的轴旋转。通常，它与机器人的姿态变化有关。
Twist中的角速度：Twist是一个6维向量，其中前三个分量表示线性速度（x、y、z方向的速度），后三个分量表示角速度（绕x、y、z轴的角速度）。角速度的这一部分用于描述机器人的旋转速度，即机器人末端执行器如何绕全局坐标系的轴旋转。
Chapter 3.3.2 part 2
1、V是6维向量，T是四维矩阵，需要转换矩阵做adjoint representaiton的变换，才能运算
2、然后利用抵消法则，从Vb变换成Va
3、表示出 [V], V是6维向量，而 [V]是4*4矩阵。就好像第三周的[omega]是3*3矩阵，而omega是三维向量
类比于第三周内容，角速度矩阵可以用反对称矩阵来表示。R是个3*3的矩阵，R-点也是一个3*3矩阵。R是旋转矩阵，R-点是旋转矩阵的旋转速度。
左上角的3x3子矩阵表示了角速度的反对称矩阵表示，右上角的3x1向量表示了原点位置的线性速度，以该坐标系为参考。底部一行是四个零。
4、给出se（3）的定义
5、旋转矩阵，和钢体运动的对比
6、se（3）和SE（3）之间的log，exp关系。把se（3），转变为SE（3）。类似于把速度转变为位置。
7、exp表示的螺旋矩阵的抵消法则。
8、Wrench 力矩
1、定义：描述物体受到的力和扭矩的组合。是一个六维矢量，它将力和扭矩结合在一起。提供了关于物体上的外部力和扭矩如何影响物体的完整信息。
2、表示：
前提：rb是在b坐标系中的一个点，fb是作用在这个点上的力
Fb：
注意：mb也是个六维向量，这里是rb和fb的外积，rb是三维向量，表示点的坐标，fb是三维向量，表示fb在b坐标系三轴上的分量。所依Fb是个6维向量
Fs：
注意：
1）power是功率，Vb是角速度和线速度组成的六维向量，Fb是扭矩和力形成的六维向量。
2）AdTbs，是b到s的转化矩阵的Ad变换。
3）转换矩阵T中的R是b到s的旋转矩阵，如果没有旋转，就是identity矩阵（对角线为1，其他为0的矩阵）
例子：
注意：
1）没有扭矩，所以ma都为0
2）从f到a，没有旋转，所以T中的R是identity矩阵
3）p点，可能是f坐标系的原点在a坐标系的坐标？换句话说，f和a相差的部分。这个结论我不确定，就先暂且这样放着。
