一、摘要
推论一：【股票现金分红前后PB的变化】
（1）当PB<1时，股票现金分红，分红后PB小于分红前PB。当PB回归时，投资者持有的股票市值会上升，所以会提升整体收益率。如果分红再投资，会更进一步的提升整体收益率。
（2）当PB=1时，股票现金分红，分红前后PB不变。投资者持有的总市值也不变，对整体收益率无额外影响。
（3）当PB>1时，股票现金分红，分红后PB大于分红前PB。当PB回归时，投资者持有的股票市值会下降，所以会降低整体收益率。如果分红再投资，会更进一步的降低整体收益率。
推论二：【定量评估股票现金分红对投资收益率的影响】
股票现金分红，并且分红再投资，PB回归增长率对ROE有叠加作用，投资收益率 = (1+期初ROE)*(1+PB回归增长率)-1。
企业经营获得净利润，这些盈利可以现金分红，也可以存留下来继续投入企业运营。
（1）如果盈利不分红，当期末PB回到期初PB时，投资者的投资收益率 = 期初ROE。
（2）如果盈利有分红，并且分红再投资，当期末PB回到期初PB时：
（a）如果分红前PB<1，则PB回归增长率>0，那么，投资收益率 > 期初ROE。
（b）如果分红前PB=1，则PB回归增长率=0，那么，投资收益率 = 期初ROE。
（c）如果分红前PB>1，则PB回归增长率<0，那么，投资收益率 < 期初ROE。
PB回归增长率参考【公式2】，投资收益率参考【公式4】或【公式5】。
推论三：即使期初ROE水平相同的企业，在不同的分红前PB和分红比例的影响下，投资者的长期年化收益率也会有所不同，甚至可能差别很大。
二、前言
股票的现金分红，主要与公司的盈利情况和公司的分红政策相关，所以，具有一定程度的稳定性和连续性。
股票现金分红对投资者的投资收益率有影响吗？ 如果有影响，那么如何定量的评估这种影响呢？
在我写这篇文章的很早之前，我就对“股票现金分红对投资收益率的影响”有过模糊的感觉。后来就试着定量推导一下，看看结论是否与自己的感觉类似，顺便定量的计算了一下。
所以，重要的是看推理的过程是否正确、推理的结论是否有意义。至于实际中要不要使用公式计算则不重要。
本文将从定量分析和推理的角度，评估股票现金分红对投资收益率的影响：
首先，定量推导出一些公式和结论。
然后，根据推论制作一个计算模型。
再然后，使用推论进行案例分析与实际应用。
最后，简单的谈了谈我个人对“模糊的正确”的一些理解。
ps：另外，我还思考过股票现金分红具有的保障作用（或安全垫作用），以及在提供相对稳定现金流方面的意义。不过，这两个方面不属于本文要讨论的范围，就不在这里论述了。
三、术语与说明
（一）术语
分红比例：是指企业的现金分红与净利润之间的比例。
期初ROE：是指企业经营按期初净资产计算出来的净资产收益率。大部分财务报表使用的是加权平均ROE，与本文中的期初ROE有一定的区别。
PB回归增长率：本文定义的术语，是指股票现金分红，分红后PB回归到分红前PB的增长率。即 PB回归增长率 = 分红后PB/分红前PB -1 。
（二）说明
（1）现金分红虽然可以当成是收回了成本，但是并不表示没有占用成本，所以，从分红再投资的角度进行思考和分析更为合理。另外，本文所说的分红再投资是指按除权除息价再投资。
（2）本文暂时不考虑再融资和回购的影响。（ps：类似本文的推理，再融资在不同PB情况下也会有不同的影响，但是与现金分红的影响相反；回购在不同PB情况下同样会有不同的影响，与现金分红的影响相似。）
（3）由于期末PB相对于期初PB的提升或降低，导致的额外增长率对于投资收益率来说只是一次性的影响，时间越长，对投资者的年化收益率的影响越小。并且为了简化分析推理的过程，在考虑投资收益率时，假设期末PB与期初PB一样。
（4）本文只是从股票的现金分红的角度，定量评估现金分红对投资收益率的影响，并给出实际应用。现实情况可能并不完全满足相关设定，但是推导的结论是具有参考价值的。
四、公式推导与结论
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（一）推理一：简单推理现金分红前后PB的变化
假设：每股净资产为b元，每股现金分红c元，那么，分红后每股净资产变为b-c元（b>c）。假设，分红前PB为x，分红后PB为y 。
推导：
考虑“分红前股票市值=现金分红+分红后股票市值”的情况（目前A股分红时股价的除权除息也是按照该原则处理的），即 bx=c+(b-c)y
得出: y=(bx-c)/(b-c)
继续得出：y-x=(bx-c)/(b-c)-x=c(x-1)/(b-c)
经分析：
当x<1时，y<x 。即：当分红前PB小于1时，分红后，PB变小了（分红后的PB比分红前更小了）。
当x=1时，y=x 。即：当分红前PB等于1时，分红后，PB没有变化。
当x>1时，y>x 。即：当分红前PB大于1时，分红后，PB变大了（分红后的PB比分红前更大了）。
结论：
（1）当PB<1时，股票现金分红，分红后PB小于分红前PB。当PB回归时，投资者持有的股票市值会上升，所以会提升整体收益率。如果分红再投资，会更进一步的提升整体收益率。
（2）当PB=1时，股票现金分红，分红前后PB不变。投资者持有的总市值也不变，对整体收益率无额外影响。
（3）当PB>1时，股票现金分红，分红后PB大于分红前PB。当PB回归时，投资者持有的股票市值会下降，所以会降低整体收益率。如果分红再投资，会更进一步的降低整体收益率。
（二）推理二：更具普遍意义的定量评估股票现金分红对投资收益率的影响
如果一只股票按照PB来估值，期末PB与期初PB相同，不分红，那么，长期下来，当期末PB回到期初的PB时，投资者的投资收益率将等于期初ROE。
如果有现金分红（并且分红按除权除息价再投资，暂时不考虑手续费和红利税的影响），那么，现金分红将如何影响投资者的投资收益率呢？
假设：期初每股净资产为b元，PB为z，持股数量为n股，期初ROE为r，年末进行现金分红，分红比例为a，则每股分红bra元，分红前每股净资产变为b(1+r)，分红后每股净资产变为b(1+r-ra)；假设分红前PB为x，分红后PB为y 。
推导：
同样，我们考虑“分红前市值=现金分红+分红后市值”的情况。那么得出，b(1+r)xn = bran + b(1+r-ra)yn 。
得出：y = ((1+r)x-ra)/(1+r-ra) //公式1
得出：
PB回归增长率 = x/y-1 = ra(1-x)/((1+r)x-ra) //【公式2】
并且得出：
(1+r)*(1+PB回归增长率)-1 = (r(1+r)(1-a)x+ra)/((1+r)x-ra) //公式3
继续推导：
假设分红后按除权除息价进行再投资，那么，最终持股数量 = 原数量+分红购买数量 = n + nbra/(b(1+r-ra)y) = n(1+r)x/((1+r)x-ra))。
如果最终PB回到期初的PB值z，那么，最终持有市值 = 最终持股数量*分红后每股净资产*最终PB = n(1+r)x*b(1+r-ra)z/((1+r)x-ra) 。
由于期初持有市值=nbz ，根据投资收益率=最终持有市值/初始市值-1 ，
得出：
投资收益率 = (r(1+r)(1-a)x+ra)/((1+r)x-ra) //【公式4】
由于公式3与公式4的右值是相等的，
得出：
投资收益率 = (1+r)*(1+PB回归增长率)-1 //【公式5】
结论：
股票现金分红，并且分红再投资，PB回归增长率对ROE有叠加作用，投资收益率 = (1+期初ROE)*(1+PB回归增长率)-1。
企业经营获得净利润，这些盈利可以现金分红，也可以存留下来继续投入企业运营。
（1）如果盈利不分红，当期末PB回到期初PB时，投资者的投资收益率 = 期初ROE。
（2）如果盈利有分红，并且分红再投资，当期末PB回到期初PB时：
（a）如果分红前PB<1，则PB回归增长率>0，那么，投资收益率 > 期初ROE。
（b）如果分红前PB=1，则PB回归增长率=0，那么，投资收益率 = 期初ROE。
（c）如果分红前PB>1，则PB回归增长率<0，那么，投资收益率 < 期初ROE。
PB回归增长率参考【公式2】，投资收益率参考【公式4】或【公式5】。
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（三）结论
从上面的推导中，我们可以得出：
推论一：【股票现金分红前后PB的变化】
（1）当PB<1时，股票现金分红，分红后PB小于分红前PB。当PB回归时，投资者持有的股票市值会上升，所以会提升整体收益率。如果分红再投资，会更进一步的提升整体收益率。
（2）当PB=1时，股票现金分红，分红前后PB不变。投资者持有的总市值也不变，对整体收益率无额外影响。
（3）当PB>1时，股票现金分红，分红后PB大于分红前PB。当PB回归时，投资者持有的股票市值会下降，所以会降低整体收益率。如果分红再投资，会更进一步的降低整体收益率。
推论二：【定量评估股票现金分红对投资收益率的影响】
股票现金分红，并且分红再投资，PB回归增长率对ROE有叠加作用，投资收益率 = (1+期初ROE)*(1+PB回归增长率)-1。
企业经营获得净利润，这些盈利可以现金分红，也可以存留下来继续投入企业运营。
（1）如果盈利不分红，当期末PB回到期初PB时，投资者的投资收益率 = 期初ROE。
（2）如果盈利有分红，并且分红再投资，当期末PB回到期初PB时：
（a）如果分红前PB<1，则PB回归增长率>0，那么，投资收益率 > 期初ROE。
（b）如果分红前PB=1，则PB回归增长率=0，那么，投资收益率 = 期初ROE。
（c）如果分红前PB>1，则PB回归增长率<0，那么，投资收益率 < 期初ROE。
PB回归增长率参考【公式2】，投资收益率参考【公式4】或【公式5】。
推论三：
如果使用ROE和PB来估值，并且暂时不考虑再融资和回购的影响，在长期来看（不考虑市场情绪的影响），投资收益率取决于长期年化期初ROE、长期平均分红前PB、长期平均分红比例 3个因素。(ps：如果使用PE估值，在长期来看，投资收益率取决于净利润增长率和股息率。不过这不是本文要讨论的内容，就不在本文论述了。）
即使期初ROE水平相同的企业，在不同的分红前PB和分红比例的影响下，投资者的长期年化收益率也会有所不同，甚至可能差别很大。
五、股票现金分红对投资收益率影响的计算模型
根据上面的推论，得出以下计算模型：
其中，期初ROE、分红前PB、分红比例 3项需要手动设置，PB回归增长率、预期投资收益率两项是自动计算出的理论参考值。六、案例分析与实际应用
（一）《一样的ROE 不一样的回报》分析
@徐凤俊 球友写过一篇很好的文章，《一样的ROE 不一样的回报》（网页链接）。
文章中举例说明了现金分红对不同PB企业的投资回报的影响，但是，并没有给出具有普遍意义上的定量分析推论与公式。现在，我们根据本文的推论与模型，进行分析和验证，看看计算出来的结果是否与他举例说明的结果一致。
分析过程：
（1）A企业的期初ROE为36%，企业盈利全部分红（分红比例a=100%），并且分红再投资，分红后PB=3，分红前后PB不同，经分析，分红前PB=(30+3.6)/(10+3.6)=2.4706
根据公式4计算出，投资者的投资收益率=(r(1+r)(1-a)x+ra)/((1+r)x-ra)=(0+0.36)/(1.36*2.4706-0.36)=12.00%
（2）B企业的期初ROE为36%，不分红（分红比例a=0%），即分红前PB=3
由于不分红，所以投资收益率可以直接等于ROE，即36%
或者，根据公式4计算出，投资者的投资收益率=(r(1+r)(1-a)x+ra)/((1+r)x-ra)=(0.36*1.36*1*3+0)/(1.36*3-0)=36%
（3）C企业的期初ROE为16%,不分红（分红比例a=0%），即分红前PB=2.5
由于不分红，所以投资收益率可以直接等于ROE，即16%
或者，根据公式4计算出，投资者的投资收益率=(r(1+r)(1-a)x+ra)/((1+r)x-ra)=(0.16*1.16*1*2.5+0)/(1.16*2.5-0)=16%
（4）D企业的期初ROE为12%。企业盈利全部分红（分红比例a=100%），并且分红再投资，由于分红后PB=1，分红前后PB不变，所以分红前PB=1
由于分红前PB=1，所以投资收益率可以直接等于ROE，即12%
或者，根据公式4计算出，投资者的投资收益率=(r(1+r)(1-a)x+ra)/((1+r)x-ra)=(0+0.12)/(1.12*1-0.12)=12%
（5）E企业的期初ROE为12%。不分红（分红比例a=0%），即分红前PB=1
由于不分红，所以投资收益率可以直接等于ROE，即12%
或者，根据公式4计算出，投资者的投资收益率=(r(1+r)(1-a)x+ra)/((1+r)x-ra)=(0.12*1.12*1*1+0)/(1.12*1-0)=12%
使用计算模型计算出的结果如下图所示：
根据本文的推论与模型，计算出的投资收益率与@徐凤俊 的文章中举例说明的结果一致！（二）芒格关于长期投资回报率的说法不一定正确
芒格说过从长期来看（比如40年）投资者的回报非常接近公司的ROE水平（我在网上找到的芒格关于长期投资回报率的说法，同时也被很多人引用的说法）： “如果某家企业40年来的资本回报率是6%，你在这40年间持有它的股票，那么你得到的回报率不会跟6%有太大的差别，即便你最早购买时该股票的价格比其 账面价值低很多。相反地，如果一家企业在过去二三十年间的资本回报率是18%，那么即使你当时花了很大的价钱去买它的股票，你最终得到的回报也将会非常可 观。”
但是，根据本文的推论，有如下情况：
（1）企业不分红或很少分红，存留收益继续投入运营。那么，投资者的长期年化收益率会接近企业的长期ROE水平。
（2）企业持续分红，如果长期平均分红前PB<1，分红再投资，那么，投资者的长期年化收益率会超过该企业的长期ROE水平。并且长期平均分红前PB越小、长期平均分红比例越大，那么长期年化收益率会远超过该企业的长期ROE水平。
（3）企业持续分红，如果长期平均分红前PB在1倍附近，分红再投资，那么，投资者的长期年化收益率会接近企业的长期ROE水平。
（4）企业持续分红，如果长期平均分红前PB>1，分红再投资，那么，投资者的长期年化收益率会低于该企业的长期ROE水平。并且长期平均分红前PB越大、长期平均分红比例越大，那么长期年化收益率会远低于该企业的长期ROE水平。
……
由上述分析，我们知道，在（1）、（3）情况下，投资者的长期年化收益率会接近企业的长期ROE水平。但是在（2）、（4）情况下，长期年化收益率会与企业的长期ROE水平有差别，某些情况下该差别是比较大的！所以，芒格的说法也不完全正确。
（三）高ROE，高分红比例的股票，有些可能很美好，而有些可能并不那么美好
首先，ROE的质量和未来的持续性需要投资者自行把握，且具有一定的不确定性。
如果该企业是通过持续的高比例分红维持了未来的高ROE，根据本文的推论：
（1）长期下来，如果平均分红前PB偏低的话，那么，投资收益率会接近于ROE或大于ROE，实际的投资收益率可能会比较美好。
（2）长期下来，如果平均分红前PB中等偏高的话，将导致PB回归增长率为负且绝对值较大，从而导致投资收益率比ROE低很多，实际的投资收益率可能并那么不美好。
如下图所示：
所以，高ROE，高分红比例的股票，有些可能很美好，而有些可能并不那么美好。（四）……
还有一些其他实际应用，比如：
为什么优质（持续的合理或较高的ROE）、严重低估（非常低的PB）、高分红比例的股票的股价是有很高的保障的？
……
等等，就不在此展开叙述了。
文章已经够长了，相信只有很少人能够仔细看到这里了吧……
七、题外话
很多球友会觉得没必要这样计算或者过于精确了、犯了“精确的错误”、现实情况可能并不会如此，所以这篇文章没有意义的。
但是，在文章的最后，我想谈一谈我个人对“模糊的正确”的一些理解。
“正确”是指从某个角度，推导的原理、过程和推论的正确。“模糊”是指实际情况可能并不一定完全符合定量推理时的假设，计算出来的理论值（如果有的话）只是一个参考值，是可以做模糊处理，预留足够的安全边际。
比如，我们通常所说的“自由现金流折现模型”，它从自由现金流折现的角度，推导的原理、过程和推论是“正确”的，但是，对于各项参数可以有不同的设定（或 者实际情况可能并不完全满足设定），计算出的折现值是可以是毛估的，可以进行“模糊”处理，预留足够的安全边际。当然了，每个人的投资体系不同，有些投资 者可能会用到自由现金流折现模型进行估值，虽然我的投资体系中并没有使用自由现金流折现的模型，但我还是认为该模型是有意义的。
同样的，我认为本文的推导原理、过程、推论是有意义的，在某种程度上可以帮助我们思考或投资。
“模糊的正确”，我并不认为是“模模糊糊的认为正确”就可以了。特别是定量分析方面，我认为首先是推理、论证、统计等保证了方向或概率的“正确”，然后是“模糊的”进行容错，预留安全边际。
不仅本篇文章，我的其他一些文章也有过类似“精确”的推理，推导的过程与推论对我有很大的帮助，并且在一定程度上指导了我的投资。希望本文对大家也有所帮助！
附《我的原创文章集合（好股收藏者_KANG）》网页链接
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