《相信指数的力量》
作者：张辉
来源：辉哥奇谭
最近我最大的认知收获来源于两个数学公式，一个是指数函数，另一个是幂律。理解这两个公式，能影响我们对于生活、工作中很多要事的认知。
前者揭示了财富增长，量变到质变的原因，可以认为是时间的函数；后者揭示了空间分布上的不均衡性，也揭示了规模与增长的关系，可以认为是空间的函数。
今天先来讲讲指数函数。
最早在研究巴菲特的投资哲学时，我发现他的投资收益能长期保持在年复利20%以上，对应的就是下面的财富增长曲线，这是一个「1.2^T」的指数函数。也就是说，伯克希尔·哈撒韦公司的股票，从1962年到2022年，经过61年时间，每股股价超过44万美元，涨幅超过6万倍。
这就是指数增长的力量，这是活生生的例子，而非逻辑推理，伯克希尔·哈撒韦公司的例子，给我足够的震撼。若我现有的财富，可以在未来30年保持20%的年复利，将增长为现值的237倍，非常惊人！
但是，指数增长的原因是什么，我一直没有搞清楚，直到看了《系统思考》这本书。书中提及，世界上复杂的系统基本上可以用「增长闭环」和「调节闭环」来概括。
简而言之，增长闭环（正循环）带来了指数增长（比如下文提到的麦克风啸叫），而调节闭环带来一种稳定状态（类似马桶上水机关就是调节闭环，确保马桶水面保持稳定，世界上所有的「控制器」都是类似原理）。
正循环的典型例子是用麦克风时听到的尖锐声音 —— 声音通过麦克风输入，经过功放（功率放大器）放大之后从音箱里传出来，再次传入麦克风，被功放再次放大。因为这种传导、放大过程是瞬时发生的，很快把音量推高到系统的极限，所以我们在手持麦克风朝向音箱时很快能听到尖锐的声音。
吴军在他的得到专栏《科技史纲60讲》中提到，支配人类科技史发展的是两个主要因素：第一是能量，第二是信息。人类每一次科技的进步，都来自于能量、信息分别发生了正循环，并且能量与信息之间产生了良性互动。
以能量为例，当人类学会穿衣服，每日所摄取的能量就远远超过了身体所需，于是可以用多余的能量做更高级的事情。而生活在极寒地带的人，因为获取的能源仅仅够维持每日生活，所以无法发展更高的文明。
当我理解「系统思考」与指数增长的基本原理之后，我有一个全新的视角来看待周围的世界。
比如，为何好公司能在长期内保持指数增长的势头，根本原因在于「收益再投入」，即这家公司把收益拿来继续投入品牌建设和生产率提升，从而提升产品占有率，降低生产成本。
当然，一家公司的增长极限则来自于该公司所在市场的总容量 —— 这是一个天花板。所以，当好公司占有某个市场70%的市场份额时，如果所在市场增长缓慢，则为了保持之前的收益增长，必须探索新的市场。大部分好公司在探索新市场时落败，无法从「好」变成「伟大」。
而在巴菲特的投资理念中，就是要不断找到这些内在价值保持增长的公司，在成本合理时买入并持有。
比如，当我再次看《稀缺》一书时，我突然理解到从贫穷和忙碌中摆脱出来的关键因素「带宽」，其实就是让我们的时间管理系统和财富系统呈现「正循环」。只要有一点点多余的「带宽」，也就是书中所说的「余闲」，我们就有机会利用指数增长的力量，进入一个全新的轨道 —— 效率越来越高，财富越来越多。
但是，大多数贫穷或者忙碌的人，没有意识到这一点，无法产生这个「带宽」，甚至需要向外借债，带来负向的指数增长。
马太效应中说「穷者越穷，富者越富」，其实正是来自于正循环的力量。
（完）
文章二：《察觉幂律的作用》
作者：老范
来源：模范思维
本文有修改整理
财富杂志发布了2021年美国500强公司排行榜，其中苹果公司营收2745亿美元，利润却达到574亿美元之巨，成为榜单中利润第一名。尽管其在智能手机市场中的份额占比仅有13%左右，但它却拿走了全部市场的60%利润，剩下所有的手机公司只能瓜分剩下的40%，为什么在经济系统中会出现强者恒强，弱者愈弱的现象？社会中会出现了富者越富，穷者越穷的现象呢？按照马克思的理论解释，可能是因为资本主义的缺陷造成的。其实背后隐藏着一个巨大的数学定律“幂次法则”。
Peter Thiel《从0到1》一书中写到：“幂次法则是宇宙的力量，是宇宙最强大的力量。它完整定义了我们周围的环境，而我们几乎毫无察觉。”
《新约.马太福音》一书中提到：“凡是少的，就连他所有的，也要夺过来。凡是多的，还要给他，叫他多多益善。” 这就是著名的马太效应。
概率论给我们的启示是：“凡是相信大数定律的，凡是相信热力学第一定律的，就不要去赌博，不要去炒股，不要去买彩票，不要去进行任何投机，而应该去开赌场。”
可见幂律对社会和经济的影响极大，那什么是幂律分布？幂律分布的原因是什么？幂律分布有哪些应用？本文对以上问题进行探讨。
一、什么是幂律分布？
在统计学中，幂律power law表示的是两个量之间的函数关系，其中一个量的相对变化会导致另一个量的相应幂次比例的变化，且与初值无关：表现为一个量是另一个量的幂次方。例如，正方形面积与边长的关系，如果长度扩大到两倍，那么面积扩大到四倍。
幂函数：百科吧
（α为有理数）
指数函数：百科！
（a为常数且以a>0，a≠1）
幂律分布：是一种概率分布，假设变量x服从参数为α的幂律分布，则其概率密度函数可以表示为：概率密度函数为百科？
幂律分布也有很多其他的形式，例如“长尾”分布也是幂律分布的一种。
根据幂次法则我们可以知道：个体的规模和其名次之间存在着幂次方的反比关系。也就是事件越大，发生率越小，因此，在幂律分布中，小事件的数量要比大事件要多得多。大事件的可能性将幂律分布与正态分布区分开来，因为在正态分布中，我们实际上从未见过大事件，而在幂律分布中，大事件虽然也很少见，但是它们发生的频率足以引起注意和准备。即使是百万分之一的事件也必须加以考虑。
例如：地震大小的分布接近于指数大约为2的幂律。如果发生了震级大于里氏9.0级的地震，不但建筑物会被夷为平地，整个地形地貌都会变得面目全非。这是一个发生的可能性只有百万分之一的大事件，在一个世纪的时间中，这种规模的地震发生的概率为3.5%。
自然界与社会生活中存在各种各样性质迥异的幂律分布现象。地震规模大小的分布（古登堡—里希特定律）、月球表面上月坑直径的分布、行星间碎片大小的分布、太阳耀斑强度的分布、计算机文件大小的分布、战争规模的分布、人类语言中单词频率的分布、大多数国家姓氏的分布、学者撰写的论文数及其被引用的次数的分布、自媒体被关注的分布、视频播放次数的分布、每类生物中物种数的分布等都是典型的幂律分布。
常见的幂律分布有齐普夫定律、二八法则、长尾效应、马太效应等。
1、齐普夫定律
1932年哈佛大学的语言学专家齐夫（Zipf）在研究英文单词出现的频率时，发现如果把单词出现的频率按由大到小的顺序排列，则每个单词出现的频率与它的名次的常数次幂存在简单的反比关系，这种分布就称为齐夫定律，即对于指数为2的幂律分布（a=2），事件的等级排列序号乘以它的大小等于常数，也就是事件等级×事件大小=常数。
它表明在各种语言中，只有极少数的词被经常使用，而绝大多数词很少被使用。2016年，江南大学的研究者以诺贝尔文学奖得主莫言的《红高粱》《蛙》和《透明的红萝卜》为主要研究对象，采用字频统计软件和汉语词频统计软件，统计莫言作品中字频、词频，发现都能满足齐普夫定律。所得结果与包括英语、西班牙语、法语等在内的多种语言研究结果一致。
2、二八法则
19世纪意大利经济学家帕雷托（VilfredoPareto）研究了个人收入的统计分布，发现少数人的收入要远多于大多数人的收入，提出了著名的80/20法则，即20%的人口占据了80%的社会财富。
3、长尾理论
克里斯·安德森（Chris Aderson）的“长尾理论”即是幂律的口语化表达。安德森系统研究了亚马逊、狂想曲公司、Blog、Google、eBay、Netflix等互联网零售商的销售数据，并与沃尔玛等传统零售商的销售数据进行了对比，观察到一种符合统计规律（大数定律）的现象。这种现象恰如以数量、品种二维坐标上的一条需求曲线，拖着长长的尾巴，向代表“品种”的横轴尽头延伸，长尾由此得名。
4、马太效应
马太效应是社会学家和经济学家们常用的术语，它反映着富者更富、穷者更穷，一种两极分化的社会现象。1968年，美国科学史研究者罗伯特·莫顿（Robert K. Merton）提出这个术语用以概括一种社会心理现象：“相对于那些不知名的研究者，声名显赫的科学家通常得到更多的声望；也就是任何个体、群体或地区，在某一个方面（如金钱、名誉、地位等）获得成功和进步，就会产生一种积累优势，就会有更多的机会取得更大的成功和进步。”此术语后为经济学界所借用，反映赢家通吃的经济学中收入分配不公的现象。
统计物理学家习惯把服从幂律分布的现象称为无标度现象，即系统中个体的尺度相差悬殊，缺乏一个优选的规模。凡有生命、有进化、有竞争的地方都会出现不同程度的无标度现象。
二、幂律分布的产生原因
1、优先链接模型
Barabási与Albert针对复杂网络中普遍存在的幂律分布现象，提出了网络动态演化的BA模型，他们解释，成长性和优先连接性是无标度网络度分布呈现幂律的两个最根本的原因。所谓成长性是指网络节点数的增加，像路由器的添加、网站或网页的增加等，优先连接性是指新加入的节点总是优先选择与度值较高的节点相连。
比如：新网站总是优先选择人们经常访问的网站作为超链接。随着时间的演进，网络会逐渐呈现出一种“富者愈富，贫者愈贫”的现象
优先连接模型有助于解释为什么网络链接、城市规模、企业规模、图书销量和学术引用数量的分布都是幂律分布。在这些情况下，一个行动会增加其他人也这样做的可能性。
2、自组织临界模型
自组织临界模型，通过在系统中建立相互依赖关系的过程产生幂律分布，直到系统达到临界状态为止。许多真实的系统, 如地震、网络、金融、沙堆、火灾等系统,都是自组织临界性系统。
其中著名的有沙堆模型，假设有人将沙粒从距桌面几十厘米的地方洒落到桌子上。随着沙粒不断增多，一个沙堆开始形成。最终，沙子的堆积会达到临界状态，此后每加一次沙子都可能导致“沙崩”。在这种临界状态下，多加入的沙子通常要么没有影响，要么最多只会导致一些沙子下滑。这些属于幂律分布中的数量众多的小事件。但有时，只要再加入一粒沙子就会导致大规模的“沙崩”，这就是大事件。
森林火灾模型（forest fire model）也是自组织临界模型的一种。假设树木可以在一个二维网格上生长，这些树木也可能会随机地被闪电击中。当树木的密度较低时，由闪电引发的任何火灾的规模都很小，最多只会蔓延到几个格点。当树木密度变得足够高时，再被闪电击中就会导致森林大火。
因为真实的森林火灾系统是一个开放系统,存在着能量的交换：它的能量输入就是可燃物树木的增长，它的能量输出就是火灾。森林火灾系统具有自组织临界性系统的典型特征:系统的能量注入是持续、缓慢而均匀的；能量耗散相对于能量注入来说是瞬时的、“雪崩式”的,但发生的次数相对比较少。具有这种性质的系统通常可以自发地演化到一个临界状态,最终导致大事件的发生。
三、幂律分布的应用
幂律分布是社会系统和自然界中的一个普遍规律，普遍应用于物理学、纯数学、应用数学、经济学、统计学、生物学、社会科学、神经科学、人工智能等许许多多领域中，至今已经确定了成百种的幂律分布。列举案例学习如下：
案例一：投资的收益分布
作为一个普通的小散户，当我们处开始做股票投资的时候，你可能听不少身边的朋友告诫，要谨慎选择不同类型的股票，分散一下风险，“不要把鸡蛋放在一个篮子里”，否则一旦集中投资，碰上暴雷的股票，瞬间会让你血本无归。
然而按照幂次法则，你应该把资本集中到极少数的几只股票上，因为能给你带来较大收益的，往往只是很少部分的一些股票，你虽然投资了不少类型的股票，分散了风险，但是大部分的股票只能给你带来平庸的收益。
能够把集中投资做到极致的，就是查理芒格和巴菲特，巴菲特在伯克希尔的年度股东大会上，曾经告诉投资者，他和芒格投资的公司不计其数，但他挣到的绝大多数钱，只是来自于其中的不到十个公司，其背后的逻辑就是幂次法则。
幂次法则教会我们任何东西，重要的往往只占很少一部分，既然这样，为什么我们选择股票的时候，做不到像巴菲特和芒格那样呢？因为我们的精力太分散了，不想错位任何一个表面看起来还不错的公司，于是就广撒网，不但看不准，还美其名曰分散风险。其实，是我们不愿意集中精力去深入的研究一些公司，不愿意花时间弄清公司的盈利模式和商业逻辑，所以不敢下重注。
案例二：工作上的优先级
我们可能看过不少关于工作任务管理方面的书籍，其中很重要的一个方法就是：工作优先级的排序。
工作任务优先级，要求我们每天列出工作任务清单，任务按照重要性排序，可以把事情大致分为四个方面：紧急，不紧急，重要，不重要。我们要优先处理紧急而重要的，接下来是紧急不重要的，然后是重要不紧急的，最后是不重要不紧急的，这样来做的话，你工作效率就会提高许多。
案例三：英语单词的学习
相信每个人都经历过学习英语的那段历程，从小学到初中，从初中到高中，从高中到大学……。可谓慢慢长路，但是除了英语专业的学生，真正把英语学的好的人确不多。
不知道到你是如何学习英语的呢，是按照传统的模式一个个背单词吗 ？相信我们不少人都这么尝试过，更有甚者，去背诵整个英语词典，付出了大量的时间和精力，效果却不太好。
哈佛大学的语言学家乔治·金斯利·齐夫，曾经揭示过词频分布规律，在大多数语言中，只有极少数词被经常使用，而绝大多数词很少被使用，其背后的逻辑也遵循着幂律法则。
比如：在一本30000总单词量的英文小说里，大概只有2000的单词被频繁使用，并且使用频率达80%以上。尽管英语有十几万的词汇量，但你只需掌握最关键的2000个高频词汇，你就可以迅速入门英语。
四、 幂次法则的启发
我们整天忙忙碌碌，以为自己是在努力着、奋斗着，殊不知，一天到头，我们却不知道自己到底都忙了什么，而忙过的这些事，又会对自己产生怎样的价值和意义。
有了幂次法则的思维，相信你定然会豁然开朗：原来我们大部分时间的忙碌，都只是在做一些琐碎的事情，而这些琐碎的事情占据了我们大部分的时间精力，带给我们的，却只是很少的一部分收益。
幂次法则让我们明白累积的重要性。