如果你某次买彩票，中奖概率是1%，有如下两种理解方式：
（1）打印100张奖券，只有一张有奖，分给一百个人，一人一张，会有一个人中奖；
（2）打印100张奖券，全部放到了抽奖箱里面，有个人抽了一百次（抽完不放回去），中奖一次。
两种理解方式有区别：（1）是把所有的人（比如说，100人）当做一个集合空间，其中只有一个人中奖了，那么中奖的概率是1%，这里的1%是指在空间里，只有一个人获得了好运气，其他人陪跑；（2）是一个人在自己的时间线上，有一次抽奖的机会，100张奖券放入抽奖箱，他可以不停地抽奖，抽出来的奖券不放回去，那么他100次里面一定会有一次中奖。
如果一件事情发生的概率为1%，但是一旦落到你的头上，就是100%。在这个例子里面，你成了系统之中百里挑一的天选之人，剩下的99个人都是陪衬。
《数学家妙谈股市》中说，如果一个抛硬币游戏是这样规定的，正面朝上返还给你下注本金的60%（也就是说你赔了40%的本金），反面朝上给你本金的50%，同时把本金返还给你（也就是说你净赚50%）。如果这枚硬币是公平的（正面或反面朝上的概率都是50%），那么这个赌局胜率和赔率出现不对称，显然具有正期望值，那么你该如何下注？
第一种，时间上的分仓。
如果你手里有100块钱，每次下注都是1%的仓位（1元），赚了跑掉，赔了割肉，那么如果这个系统是具有正期望的，那么你可以长期地玩。平均来讲，你玩100局，其中有50局亏了40%，手里剩下30块钱，另外50局赚了50%，手里剩下75块钱，最终你玩了100局，净赚5元。如果这100个赌局均匀分布在1年的交易日中，你的年化收益就是5%。
每次只投入很少的钱，相当于定投，这样人为拖延建仓时间，这样就保证了你总有金钱补仓，你大大提高了在时间线上实现遍历性的可能性。只不过定投仓位低，资金使用效率过低，你不会爆赚，亏也亏不了多少钱，但是收益率在熊市会很难看（A股恰恰是牛短熊长的）。时间上的分仓是可行的，把一枚硬币重复抛掷好多次，每次的下注都是分仓之后的资金量。但是这样做又会影响到资金使用效率，使得年化收益率非常低。
在股市中，如果你能够保证指数有向上的内生驱动力，市场整体向上，指数有大概率向上反转，从而具有正期望，那么定投不是最坏的选择。
第二种，空间上的分仓。
若每次抛掷100枚硬币，每枚硬币下注1元，每次赌局下注100元，这100枚硬币完全独立，不会互相影响（这100枚硬币不相关）。那么每玩一次，平均来讲，有50枚硬币正面朝上，50枚硬币反面朝上，那么每玩一局，你的钱变为50*0.6+50*1.5=105（元），若每次都赚5%，那么经过100次赌局，你的钱变为100*(1+5%)^100=13150（元）
如果把某个独立的投资策略比做抛掷硬币的话，那么能够做到算数平均数的办法就是分仓，每个仓位都完全独立，也就是说，每个仓位都是抛掷的独立的硬币，这样才能保证平均每一轮赚5%，长此以往，利滚利滚动起来。分仓分的越多，获胜仓位的比率才能够更加接近于原来规定的胜率。问题是，每一个仓位都必须是独立的，每个仓位都没有相关性，但是现实生活中，去哪里找那么多相互独立，相关性为零的，且每一个投资策略都是正期望值呢？多数情况下，找到的几个投资策略之间有低相关性就已经实属不易了。
在现实中，空间上的分仓是十分困难的，因为你找不到那么多相互独立的硬币，随着你的正期望的投资策略越来越多，投资策略之间的相关性也会加大。
空间上的分仓演绎到极致就变成了无限分仓，这很容易让人想到直接买入大盘指数。如果买入大盘指数，确实能够做到仓位足够分散，但是问题是，你不能保证每一支股票都具有正期望，也无法测算每支股票的持有期限是多长，股票和股票之间也不是完全相互独立的。
第三种，不分仓。
每次将全部的100元都投入到一次硬币的赌局当中，（只抛掷一枚硬币），每次都梭哈，这样做直接会导致价值毁灭，如果你每局都梭哈100元，你就不具有遍历性。你的收益=100*0.6^50*1.5^50=100*0.6^50*1.5^50=0.5，赔得只剩下5毛钱。
人们常说的“七亏二平一赚”可以从空间和时间两个维度来理解：从时间维度上看，你70%的时间是在亏损，20%的时间在横盘震荡，10%的时间在赚钱，这样从时间维度上亏得和赚的互相抵消你只赚取了市场的平均收益。
从空间维度看，市场上有七成的人在亏钱，两成人不亏不赚，一成人赚钱，总体上看所有人获得了平均收益水平。但二者并不等价——由于股票天然具有涨跌幅不对称性，下跌50%要上涨100%才能回到原点，那么上述例子中，不管是先上涨50%再下跌40%，还是先下跌40%再上涨50%，平均来看，都是每两周亏损10%（1.5*0.6=0.9）。也就是说，亏40%再上涨50%是绝对回不到原点的，这就导致看似正期望的快系统直在亏钱。如果你只押一个品种，那么该赌博系统就是在你初始本金上面滚动割肉，每两周割肉本金的10%。
现在知道单吊一个标的有多么不靠谱了吧？即使是看起来有正期望的赌博系统，单吊的巨幅回撤也会使得账户资产归零。
《赌神数学家》一书指出，长期复利情景下的期望年化收益率，需要在算术平均收益率的基础上扣除1/2倍方差，也就是说，几何平均数约等于算数平均数减去方差的一半。像50%、-40%这种波动巨大的投资策略，就会变为负值，一定要分仓，不能单吊一个一个标的或者一个投资策略，因为能够从数学上证明，空间上的分仓可以用算术平均值，不分仓独自承受波动只能用几何平均值。而分仓后减小了波动，期望收益就向算术平均收益率靠近。假设某股票在过去五年的年收益率分别为15%，20%，30%，-20%和25%。
这个序列的算数平均值为14%，因此该股票的每年的（样本）期望收益率为14%。再来看看它每年连续复利期望收益率是多少。假设我们在五年前花100块买入它并持有5年，那么在5年后我们的回报是100×1.15×1.20×1.30×0.80×1.25=179.4。因此每年（样本）连续复利期望收益率（即这个收益率序列的几何平均值）为12.4%，显然它低于算数平均值。
怎么样才能获得算术平均值14%呢？我们可以找到不相关的五种投资策略，五种投资策略的收益率为15%，20%，30%，-20%和25%，等金额配置五个投资策略，这样一年下来，你的收益率就是(15%+20%+30%-20%+25%)/5=14%，这样你在空间上就分散了风险，但是如果你单吊一个投资策略或一个标的，在5年内获得的收益率是15%，20%，30%，-20%和25%，那么就要用几何平均数来算。前者是空间上的分散风险平抑波动，而后者是硬刚时间线，承受波动。前者可以用算术平均数算收益，而后者只能用几何平均数算收益。
假设5个投资策略都有相同的期望收益率，一年里面5个投资策略获得的综合收益和一个投资策略5年获得的综合收益是不一样的，前者要用算数平均数算收益率，而后者要用几何平均数算收益率。
每个标的之间都不相关，可以获得算术平均值的收益，现实生活中比较难以找到不相关的标的（或投资策略）。
看长期，不仅要关注收益率，还要关注波动率，低回撤是复利的朋友，高回撤是复利杀手。
如果把这个赌局映射到股市中，人为地设定止盈线和止损线，赚50%就跑，赔40%就割肉，你会按照上述哪种下注方式买卖呢？
我们要做“复利赌徒”，用利滚利的方式不断下注，这个时候就必须考虑遍历性的问题了。时间上的分仓（定投）和空间上的分仓（仓位与仓位之间是完全独立的）是可以解决赌博系统不具备遍历性问题的，因为这样就相当于获取了算数平均数的数学期望。
遍历性使得时间上的期望值和空间上的期望值相等，这就要求你在时间线上是“完整的”，你得活着抽100次奖，中途不能挂掉（爆仓）。遍历性是大数定律发挥作用的前提。在时间上没有实现遍历性，谈论空间里的概率就是无意义的，因为你有可能因为“突然死亡”被赌场踢出去。复利实现的前提条件就是“活下去，活得久”。
请你考虑一种极端的回撤情况，假如说，每次赌博，都有10%的可能性归零，也就是说，有10%的可能性你会损失掉全部的本金，那么随着你的赌局次数不断增多，你本金清零的概率也会不断加大，最有可能的结果就是“输光”，这是一种不具备遍历性的系统。
如果你把投资当做一个赌局，每次不管输赢都会按照既定的轮动投资策略调仓，或者人为设定了止损线和止盈线，那么你的交易系统就和上述赌局很像。你确实需要注意高波动率对复利的损害，但是如果你加入了一些自己的判断，在应该停止轮动的时候叫停，那么上述数学推导就不成立了。因为很多投资者还有一种买入并持有的长期投资法，或者轮动很低频。举个例子，腾讯已经浮亏60%的时候，如果当初买入逻辑没有变的话，你会在200块钱的点位割肉吗？反向复利的危害大，对于交易者来讲，不回撤，很重要。但是对于价值投资者，单吊一只股票遭遇巨大回撤，若基本面无问题，千万别割肉，此时的割肉相当于上述游戏的赌局结束清算环节，会对你财富增值速度造成重大影响。
指数基金，价值投资不适用于赌博模型去描述，是因为指数基金是可以不止损的，价值投资者是不把投资当做是“赌局”的，那么头铁的投资者完全可以按照“只输时间不输钱”的原则去操作指数基金。指数基金的时间可以是连续的，人们可以根据自己的长短线操作偏好任意控制持仓时间的长短，这也是赌局不太适合描述指数基金的原因。如果你炒短线，做T，打板，量化轮动，确实是可以考虑分仓这种极度分散的方法，这样能保证你的系统最大可能具有遍历性。但是如果你做长线，买入持有无惧波动，那么相对集中，有限分散是你的好选择。
价值投资不能用这种一局一局的赌博来描述，因为每一局赌局，都是有关系的，和企业的基本面有关系，所以不能视作赌局，所以可以忽视波动率
纯粹在时间线上拿着一个资产不动，只要这个资产价值一直在提高，价格总会回归价值，那么就在时间上也没有分仓，装死不动对抗波动。
这是巴菲特智慧，无视波动。
所以有两种方式对抗波动，交易者通过分仓再平衡对抗波动，投资者通过装死对抗波动。
