一、模型
在合理的会计准则下，假设财务报表中的数据满足清洁盈余关系(Clean Surplus Relation,CSR)，我们有：
其中B_t是t期的账面价值, d_t+1是t+1期的payout（现金分红+回购股份),Earnings_t+1 是t+1期的利润。 上式经过变形,同时取数学期望（严格地说是在t期的条件期望）可得：
等式的左边是t+1期的预期收益率，右边第一项是未来t+1期的预期earning yield，第二项和预期的premium, P_t−B_t 变化有关。 所以预测未来一期的收益率变成了预测未来一期的利润以及premium。而t+1期的premium主要取决于t+1期后的成长性，成长性越高第二项对于预期收益率的贡献就越大。
总之，在以上分析框架下我们有以下结论：
1、股票收益率取决于短期利润和长期成长性;
2、成长性越高，短期利润的影响就越小。
所以我们可以将预测股票收益率的任务分解为：
1、预测短期利润；
2、预测长期的成长性带来的premium的增加，
对于短期利润，很自然想到用分析师的一致预期数据。但因为系统性高估和数据覆盖率不全的问题，这里采用t期的净利润来作为估计值。即E_t/P_t。
对于premium的增加，观察到到第二项中包含了B_t/P_t，而且该项也确实是代表成长性的指标，启发我们在实证的时候将这一项作为预期收益率的解释变量。
所以有收益率的预测模型：
从信号合成的角度，上式将两个信号加权合成复合信号，信号合成的方法一般有等权，最大化IC，最大化IR几种。但由于“成长性越高，短期利润对股票收益率的影响就越小。”，对于整体股票空间采取均一的权重会忽视权重对于成长性的依赖。而市值规模可以作为衡量成长性高低的一个简单指标，市值越小成长性越高，收入的不确定性也增加，所以这里将同一时刻的全部股票按照市值大小分成10组，每一组内部分别作线性回归计算权重。同时为了避免异常值对结果的影响，这里采用Theil-Sen 回归， 这是一种非参数统计方法，利用计算机重复取样，分别回归估计参数，然后得到参数的分布，最后根据分布获得一组稳健的参数估计值。
二、数据和结果
我选取年报中的数据并以次年收益率作为被解释变量，这里的统计时间段为（20071231-20161231）。
A股的相关结果如下表：
根据 Penman et al.(2018) 对1963-2013年的统计，美股对应结果如下表：
三、结果讨论
表格中size分组的编号从0-9代表市值从小到大。从因子的分布上看，随着市值分组由小到大：
1、BP的组内均值的历史平均逐步提升，有比较好的单调性，BP的组内中位数的历史平均虽然也有上升趋势但单调性较差，这与美股中的结果是完全反向的；
2、同样地，EP的组内均值和组内中位数的历史平均逐步提升，有比较好的单调性。以上规律符合大家“市值越大，估值越低”的印象。
对于BP EP 两个因子的权重而言，随着市值分组由小到大：
1、BP因子的权重逐步减小系数的显著性也越来越小，对于市值最大三个分组，即市场大约前800只股票，BP对收益率没有预测效果；
2、EP因子的权重先逐步增大，但对于最大的几组权重有所下降，系数的显著性的变化趋势则不太明显。比较特殊的是市值最大的分组，也就是市场大约前250只股票，BP对收益率的预测是负向的，可能是样本点比较少的原因。
以上现象说明，随着市值增大，预测收益率的权重从BP逐步向EP倾斜。
根据各组的历史BP/EP均值，我们可以估计该均值水平下的收益率，然后对历史上的估计收益率取平均，得到各组的fitted_ret_by_grp_mean 数据。可以看到市值越小该平均收益率越大，单调性相当好。用类似的方法计算fitted_ret_by_grp_median，也可以得出类似的结论。
这个和三因子模型里的size-effect是一致的，即SMB预期有正收益。模型并中没有直接引入size变量，只要满足因子权重随着size增加预测收益率的权重从BP逐步向EP倾斜，就可以衍生出size-effect。推而广之，还能找到其他的一些类似size的特征，价值因子加权的权重和特征自身的水平相关，也可以产生xx-effect。
参考文献：
[1]. Penman SH, Reggiani F, Richardson SA, Tuna İ. A framework for identifying accounting characteristics for asset pricing models, with an evaluation of book‐to‐price. Eur Financ Manag. 2018;1–33.
附录：
以下是复现上文图表结果的源代码：
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