文/张天蓉
广义相对论和狭义相对论如何关联起来？读者可以想象曲面和平面有何关联。狭义相对论只是把时间和空间统一到了一起，但没有考虑引力。因此，狭义相对论中的时空是平坦的，我们称四维的平坦时空为“闵可夫斯基空间”，类比于二维平面。然而，真实的宇宙中引力处处存在，所以，广义相对论描述的弯曲几何才是真实世界的写照，狭义相对论只是真实世界的一个小范围内的局部近似。就像生活在地球上的人类，脚下的土地本来是弯曲的球面，但是因为我们活动的范围比地球尺寸小得多，可以局部地将地面看成是平面。换言之，一个人在地面上跑步，可以认为自己是在平面上运动，但如果他作环球旅行，他会认识到地球表面是弯曲的。
曲面有各种各样，典型的三种曲面：平面、球面、双曲面，代表了三种不同的几何。双曲面也叫马鞍面，是我们常见的那种两边向不同方向弯曲的土豆片的形状。这三种曲面有不同的几何性质，分别称之为欧几里得几何、黎曼几何、罗巴切夫斯基几何。它们的区别最开始来自于对平行线公理的不同假设：过直线外的一个点可以作多少条平行线？平面几何的假设是能够作并且只能作一条；球面上一条平行线也不能作；双曲面几何则基于最少可以作两条平行线的假设。由此而得到的三种几何具有完全不同的性质，最被广为人知的一点是：平面三角形的三个内角之和等于180°，而球面三角形的内角和大于180°，双曲面上三角形的内角和则大于180°。
这三种不同的二维曲面都是常曲率曲面。平面的曲率处处为零；半径为R的球面上，每一点的曲率都等于1/R；半径为R的双曲面上每一点的曲率则都等于－1/R。
上文中所说的二维曲面的“曲率”，指的都是内在曲率，或称之为内蕴曲率。我们可以举几个二维曲面的例子来简单解释内在曲率和外在曲率的区别。比如，考虑柱面和球面，它们在三维空间中看起来都是弯曲的，但柱面的弯曲只是一种外在的表现，我们可以将柱面剪开后平坦地铺开成为一个平面，完全没有皱褶，也不用拉伸。所以，柱面的弯曲性不是本质的，而是外在的。柱面在本质上和平面一样，它的内蕴曲率等于零。而球面不一样，你无法将一个半球形的帽子剪开平铺在桌子上，球面在其内在本质上是一个弯曲的二维空间，内蕴曲率大于零。双曲面也不可能被展开成平面，本质上也是弯曲的，不过，它的内蕴曲率为负数。
再举圆锥面为例。将一张圆形的纸片沿两条半径剪去一个角，再将剪开的地方粘合在一起，便形成了一个锥面。从锥面形成的过程可知，除了顶点之外，它的内蕴几何性质是和平面相同的。也就是说，锥面的内蕴曲率处处为零，顶点例外。顶点的曲率为无穷大。
二维曲面的内蕴几何是生活在曲面上的二维生物感受到的几何。这意味着，这些扁平的生物完全不可能有三维空间的直观体验。如果它们是生活在一个球面上，那个球面就是它们的整个世界。也许它们可以通过数学来建立高于二维空间的概念，就像我们想象四维或更高维的空间一样。球面生物无法跳到三维来观测球面的形状，它们使用的一切东西都是二维的、扁平的。光线只在球面上传播，因此，它们想办法在球面上测量三角形的内角之和，发现大于180°，方知它们的世界是一个曲率为正的弯曲空间。我们人类也有类似的极限，不能跳到四维空间去观察，也无法画出三维空间嵌入四维中的直观图像。因此，我们只能用二维空间嵌入三维中的直观图像来类比。需要强调的是：虽然我们画出了平面、球面、双曲面嵌入到三维的图像，但实际上这些形状的内蕴几何性质是内在的，并不以嵌入的方式而改变。这正如一张平坦的纸，你可以把它卷成圆柱面，椭圆柱面，或是做成一个圆锥面，椭圆锥面。然后在三维空间来观察各种形状的纸上每个点附近的几何。你会发现，除了圆锥的顶点之外，其他点附近都仍然是平坦的欧几里得几何，并不以你卷成的不同形状而改变内蕴曲率为零的本质。
再举一维空间（线）的例子来加深你对“内蕴几何”性质的理解。一维空间本质上只有一种几何，即平直的欧氏几何，也就是说，在三维空间中的一条线，无论怎样弯来拐去，本质上都与直线没有区别。曲线总是可以展开成直线，弯来拐去只是嵌入二维或三维空间的表观现象，在上面爬来爬去的一维“蚂蚁”感觉不出它的世界与直线有任何区别。有的书上将这个性质表达为：曲线没有内蕴几何。但实际上正确的说法应该是，曲线只有一种平直的几何，而二维和三维流形除了平直欧氏几何之外，还有弯曲的内蕴几何。