文/姚斌
如果要理解凯利公式，那么最好的论著就是威廉·庞德斯通的《财富公式》。庞德斯通的研究显示，凯利公式萌发于20世纪50年代价值64000美元的问题。那时，在“64000美元的问题”电视节目里，参赛者需要回答一轮又一轮的问题，比如，“罗马角斗士在斗兽场使用的手套有一个专用称呼，叫做什么？”最后的胜出者可以赢得64000美元的奖金。
约翰·凯利是物理系出身，博士毕业后就进入贝尔实验室工作。凯利接触到克劳德·香农创立的信息论。根据香农的说法，凯利是在读了关于64000美元问题赌博的报道之后产生了灵感，并就此设计了数学赌博系统。凯利说他在竞猜答题节目中的赌博作弊中找到了与信息论相符合的规律。当凯利告诉香农之后，香农敦促凯利写成论文发表。
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凯利是这样描述的：如果一个赌徒拥有一条“私人线路”，就可以事先得到消息，知道或是棒球比赛或是赛马比赛的胜负结果。这些消息虽然不能保证百分之百的可靠，但其准确性可以给赌徒一定的优势。这样，赌徒就可以根据事先得到的消息，按照所谓的“公平”的赔率在庄家那里下注。凯利提出的问题是，赌徒应该如何使用事先得到的消息？
这个问题貌似简单，实则不简单。举个极端例子，如果赌徒根据事先得到的情报把全部家当都押在一匹马上，因为下注金额越高，赢的钱也就越多。但由于无法保证情报的准确性，所以这种做法存在很大的缺陷。或早或晚，总会发现情报中透露的赛马没能取胜的情况，如果赌徒仍然下重注，就会赔光老本。而如果赌徒谨小慎微，只下金额最小的赌注。赌注金额越少，赢的钱也就越少，赌徒就会白白浪费了自己的情报优势。
那么，赌徒应该怎么做？那些在赌马中发大财的赌徒们，所采用的策略是连本带利下注法。如果赢了钱，就把本金和所有利润都押在另一匹马身上，再赢了钱，仍然把所有利润连同本金都用于下注，如法炮制，就可以使自己的财富以几何级数增值。
凯利认为，赌徒与股市或债市上的投资人一样，也对复利收益有着浓厚的兴趣。在衡量财富增值时，赌徒采用的标准不是单纯的资金数额，而是每次下注的收益和本金的比率。对于赌徒来说，最好的策略就是在保证不会丢掉老本的前提下把复利收益提升到最高。
凯利证明了香农在通讯噪音干扰理论中使用的数学模型同样适用于投资者对于风险和收益的管理。如果可以在信息传输中将噪音干扰引起的错误降低到零，那么同理，投资者在追求最大复利收益的同时也可以把破产的风险降低到零。香农提出的这种两全其美的理论同样可以应用于赌博当中去。
为此，凯利对彩池设赌进行了分析。凯利为拥有内部情报的赌徒设计了一个简单的下注策略，但只适用于马场抽头为零或者内部情报十分可靠的情况。根据凯利的下注策略，每一次投入全部资金，但要根据得到的情报把全部资金按照比例在参赛的马匹身上分散下注。这样，赌徒在所有参赛的马匹身上都下了赌注，无论哪匹马获胜都可以赢钱，这样就永远不会输光赌本。同时，这个下注策略还可以保证赌徒以最快的速度扩大赌本。
举例说，如果根据内部消息，有一匹赛马有100%的把握在比赛中获胜，而且根据以往的经验，内部消息100%准确。我们就可以确信这匹赛马有100%的把握在比赛中力拔头筹，然后再据此分配下注金额。其投注策略是，100%的资金都押在这匹赛马身上，其他参赛马匹为零。这样，在这匹赛马获胜后就可以按照赌金揭示牌上所开列的赔率得到收益，这就是在能够保证内部消息百分百准确的情况下最佳下注策略。
但是，凯利策略系统更多情况是用于处理不确定性因素的。在现实生活中，没有什么事情能够万无一失。私人线路可能出错，对方也可能有意提供假情报，线路因为噪音严重而无法听清。很多时候，私人线路就像天气预报一样只能提供一个概率，或者提供的内部情报需要自己分析。因此，必须考虑“模糊度”这个因素。
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赌徒在下注时所依据的是根据内幕情报所估算出的赔率，如果认为一匹赛马有24%的胜算，就要把本金的24%押在这匹赛马上，这种做法被称为“赌信念”。长期坚持下去，赌信念的做法可以带来最大金额的复利回报，但前提是对赔率的估计必须要比一般公众对赔率的估计更加准确。为什么不把钱全部押在最有可能获胜的赛马上呢？最简单的答案是，最有可能获胜的赛马仍然可能会输掉比赛。然而，在实际赛马场上，“赌信念”这种下注策略完全没有任何实际用处。在美国，赛马场的抽头大概在14%和19%之间。在日本，则高达25%。所以，如果把全部赌本都押在一场比赛上，不论输赢，马场都会从中扣除14%~25%的抽头。只有保证内部情报高度准确，才能抵消马场抽头带来的损失。
凯利认识到了这一点并描述了另一种更具实用性的“赌信念”下注策略的版本。这就是大名鼎鼎的“凯利公式”。这个公式被庞德斯通称为“财富公式”。根据凯利公式，在占有优势的情况下，下注金额和本金的比例应该等于优势与赔率的比例。优势指的是希望从赌博中获得的收益的平均值，也就是把所有下注收益加权平均所得到的结果。优势之所以以分数形式表示，原因在于优势是期望利润和下注金额两者之间的比率。赔率指公开赔率或赌金揭示牌上公布的赔率。赔率是指赢钱的回报倍数，一般赔率采取几比几的形式，如8 ：1，指赢家得到的回报相当于下注金额的8倍，同时，投注的本金也要返给赢家。
根据凯利公式，赔率有时不能准确地反应概率。原因在于，赔率是由各种市场力量决定的，是所有人关于某匹赛马能否获胜的预期相加之后经过平均得到的值，而公众的预期可能是错误的。事实上，只有在公众预期不准确的条件下，才能保证按照凯利公式下注的赌徒能够占有优势。而根据凯利公式，赌徒在下注时依据的是内部情报，而不是公开的赔率。
凯利公式的一个方程等式与爱因斯坦的相对论有些相似：Gmax＝R。公式中的G指投资者资金的增长率，表示下注方所投入资金的复利回报率。G旁边小写的max指公式中所列的增长率为可能达到最大的增长率。凯利用R来表示最佳收益值，在香农的信息论中，这个值相当于信息传输的速率，最大收益率相当于“内部情报”的传输速率。Gmax描述的是回报率的值，也就是每个年度中所获得收益的百分比或多少个基点，7%的收益就等于7%的收益，不论采取哪种货币单位衡量。
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无关紧要的情报对于赌徒的潜在收益没有任何帮助。只有在通过最少比特的信息来通知获胜马匹的情况下，才能保证利润达到最大值。如果情报100%可靠的话，就可以根据情报把全部赌本都押在获胜赛马的身上。如果有8匹赛马同时参赛，那么其获胜机会是均等的。如果事先知道那匹马可以获胜，赌徒一美元就能得到8美元的收益。如果按照凯利公式操作，在能够保证用三字节编码传送的情报准确的前提下，每次下注都能把本金增加8倍。请注意，8等于2的三次方，在这里3是幂数，决定了赌徒资产的增值速度。同时，3这个幂数与情报传输时的比特数位相同。在更加现实的情况中，内部情报不能保证永远正确，所以必须根据模糊度打折扣。这样，每场比赛的实际信息传输速率就小于3比特。在内部情报不准确的情况下，赌徒的资产增值速度也会相应减缓。
凯利公式是通过“按比例”分散下注的方法来避免破产的。也就是必须把当前可以运用到所有资本按比例分成很多份，分别下注。由于每次下注用的资金只是全部资本一部分，所以手里的钱永远不会全部用完，这样就可以避免把钱全部输光了。按照凯利系统操作，财富值可以按照几何级数增长，这也是按比例下注的结果。随着本金的扩大，下注的金额也就随之增加。如果一个人在赌局中占优势的话，长远来看，他赢的钱自然要比输的钱多，原因在于每次赢的钱都算入本金中，再次用于下注。
根据爱因斯坦E=mc²平方的公式，一小块物质所包含的能量可以维持一座城市的运行或将一座城市毁灭。根据Gmax=R这个公式，只需要几个字节，就可以得到令任何投资人为之羡慕的投资回报率。如果用华尔街的话来描述Gmax=R这个公式的话，那就是一个比特的信息相当于10000个基点。也就是说，不论从事哪种赌博活动，凯利标准都能为你带来最大收益。在实际操作中，最大的问题就是找到内部情报可以发挥作用的投资领域。
曾经有人问香农什么样的“信息”能在股票市场上应用，香农的回答是“内幕信息”。但是，在拥有信息优势的同时不能违反法律。根据凯利系统，投资者如果拥有研究团队或建立了计算机模型从而提高对股票正确的价值判断，与一般公众相比就拥有了信息优势。
于是，凯利就发现了这样一个投资领域：股票市场。平均来说，敢于在股市中“赌一把”的人所获的收益要比那些选择在债券和储蓄等安全投资方法的人要高得多。对于凯利而言，赌博与投资的唯一区别就是形象问题，形象好的下注行为叫“投资”，形象不好的下注行为被称为“赌博”。凯利很愿意通过投资来检验凯利公式的有效性。遗憾的是，凯利却于1964年3月突发脑溢血去世。凯利未竟的事业最终由香农和索普来完成。我将这三位伟大的人物称为“凯利派三杰”。
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凯利体系问世后，在经济学界引发了大争论。以有效市场假说理论为首的经济学家保罗·萨缪尔森亲自上阵，否定凯利系统。他们认为，从长期来看，人们无法真正战胜市场，因此凯利体系很荒谬。对此，香农说：“那些研究经济的人总是在谈有效市场，好像什么都可以达到公平，一切全凭运气，没有人能真正赚到钱似的。但我根本就不相信这一点。”
在经过了多年论战之后，萨缪尔森最终也承认了凯利体系是有效的。毕竟凯利体系会带来最多的财富，对于任何一名想致富的人来说，凯利体系是合理的渠道。萨缪尔森大概也不会与财富过不去。他断言巴菲特的成功只是"个例”，却投资了伯克希尔·哈撒韦。凯利体系是信息理论学家们的成果，而不是经济学的，因此像萨缪尔森那样的经济学家必须大力捍卫自己的领地。
香农认为凯利公式正是投资的数学精髓所在。香农将赌马与炒股联系了起来。他认为，赛马如同一个节奏极快的恶性股票市场。如果去拜访一家知名的股票交易所，你会发现地板上到处散落着作废的认股凭证；如果尝试去赛马场看一下，可以发现大多数下注票也会在瞬间变得一文不值。孤独一掷是愚蠢的做法，无论对赛马还是股票来说都是如此。能够避免血本无归的唯一途径是将投资多元化。如果将赌注分别下在每只股票上或购买指数基金，至少可以在付出交易成本外获得平均收益。如果想要打败市场，就必须具有他人所没有的优势，要洞察购买哪些股票才物有所值。
索普极力推崇凯利体系。索普说他在运用凯利的思想时几乎不需要精心的计算。他可以快速推测从而确定一个资产配置正好处于凯利限制之下。他认为，凯利系统是一种关于资本管理的数学理论。正是由于运用了凯利体系的原理，索普的数牌策略才避免出现破产出局的情况。凯利体系保证了索普数牌策略能够百战百胜，这也是开天辟地的第一遭。凯利公式要求把所有赌注都押在“确定性的东西”上。索普有时会把基金30%的资产都投到了单笔生意中。最极端的情况是，他把基金资产的150%都投入到一笔“确定的”交易中。索普说，在采取着这些大胆的手段时，一个最现实的测试方法是“晚上是否能够睡得着”。如果他觉得自己实在感到困扰，就会缩小投资的规模。
经过香农和索普的投资实践和演绎，凯利体系终于确立了它的崇高地位，形成了它的原则，其内涵也不断丰富起来。如果总结凯利体系的特点，可以发现它是很“贪婪”的，总是在冒风险以便收获更多的财富。这就会带来迷人的最高回报率。但对一些人来说，凯利体系可能过于保守。凯利派会避开任何最微小的可能会导致一无所有的风险。因为从长远来看，任何看上去不太可能的危急状态都必须得绕过去。从这一点来说，凯利体系可以规避全面毁灭。这是一个巨大的成就。
凯利体系或标准的另一个特点是其带来的最大化的中间财富，中间数是统计学上的一种方法，从小到大排列一些数字，选择正中间的数值就是中间数。中间数的结果随着时间成指数增长，引导财富分配的结果，类似曼哈顿的状况，导致极端的贫富差距进一步拉大，使得富人会更富，穷人会更穷。中产阶级的人数比你想象的要少。
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但是，用凯利标准，你可能会拿需要的资金去冒险，获取可有可无的利润；用凯利标准，也许你会牺牲一些利益，而只是为了确保你认为不必要的安全。对于那些想要体验利润和显示带来的极端感觉的人来说，凯利标准并不合适。凯利体系做不到“工程师运气”。在运用凯利体系的过程中，如果运气不好的话，最后的资金可能会低于中间财富。如果是这样的话，结局可能不如用其他的体系得到的结果好。
凯利派为了实现资本增长，他们有更优化的投资组合。没有其他的，更加个性化的束缚会降低凯利派的财富积累速度。在所有的基金管理战略中，只有凯利的理论具有长期立于不败之地的优势。它更适用于那些暂时性的交易，而不是典型的小规模投资者。学术界对凯利体系最感兴趣的在于资金分配，凯利的回答是把所有的钱都投到股票中去。当然，任何的理论都有其局限性，虽然凯利体系也许可以避免全盘毁灭，但不能够完全的保证安全。凯利体系能够阻止像长期资本管理那样公司的悲剧吗？其答案是显而易见的。
凯利原则使所有的赌博和投资都可以互换。只要提供任何一种赌博和投资机会，凯利赌注就会将其转化为最佳资本增长的赌博或者投资。如果赌注风险过高，凯利使用者只会用其中一部分资金来下注，从而降低风险。如果投资或交易没有损失一切的可能性，凯利使用者也许就会使用杠杆来实现最大回报。使用凯利原则的人必须思考两个问题：风险达到何种水平可带来最高的长期收益？失去一切的可能性有多大？
巴菲特和查理·芒格也高度认可凯利原则。巴菲特就是一个秘密运用凯利原则的投资者。他在认定有优势的公司上投资，并专注于长期投资。无论他是否听说过凯利，这个方法一定是“赌你的信念”。这个理论在罗伯特·哈格斯特朗的《沃伦·巴菲特的投资组合》中得到进一步的发展。哈格斯特朗认为，凯利概念是一个很合理的过程，这个概念和巴菲特的想法不约而同。查理·芒格同样强调下重注，他要求：①放弃烂机会；②放弃看起来很好但实质上很烂的机会；③下重注在那些实质上很好的机会上。这种思想与凯利原则不谋而合。
由于运用了凯利原则，爱德华·索普掌管的普林斯顿-新港合伙公司保持了19年完全意义上的全垒打，其投资组合收益率在扣除各项费用后达到年均15.1%，同期标准普尔500指数的年均收益率也只有8.8%。而克劳德·香农更出色，从20世纪50年代到1986年，其投资组合的收益率大约为28%。香农告诉我们，聪明的投资者应该了解自身的优势，并且只有在有优势的机会中投资。“在我看来，重要的数据并不是过去几天或几个月里股价如何变化，而是过去几年里公司收入发生了什么变化。”
要想赢得胜利的唯一法则就是不赌，因为你赢不了凯利标准。如今，在一定程度上，凯利标准已经和圆周率及黄金分割一样，成为极少数可以吸引非数学家的数学概念。凯利标准似乎有一种超自然的力量，把投资和支撑我们这个数字时代的理论巧妙地结合起来，影响极其深远。