写得太清晰了,请问下篇发布了吗?没有找打到啊,
导语:本篇文章将用拉格朗日乘子法来计算马科维兹的方差最小化问题。
阅读本文前需要掌握线性代数、多元微积分、MPT 模型以及拉格朗日乘子法的基础知识。
量化课堂的 MPT 模型文章介绍了马科维兹的现代资产配置理论 (MPT, modern portfolio theory) 的模型和理论,其中讲解了重要的有效前沿和资本市场线的重要概念,但并没有解释有效前沿的计算方法。在拉格朗日乘子文章中我们介绍了使用拉格朗日乘子 (Lagrange multiplier) 来解决非线性规划问题的方法,并提到了该方法可以用来解决现代资产配置理论中的优化问题,这便是本篇文章探讨的主题。
MPT 模型可以分没有无风险资产和有无风险资产两个版本,这两个版本的解决思路相似但在细节上有一些差异,故本系列文章分为上下两篇,上篇主要探讨没有无风险资产的情况,而下篇解决有无风险资产的情况。本篇为上篇。
MPT 模型
根据分散风险的方针,资产配置的一个目标是在固定预期收益的前提条件下把收益率的方差最小化,也就是对于一个固定的期望收益 μ 解决下面的最小化问题
得到一个最小的方差 V(μ),对应着标准差所有的期望和最小标准差的二元组 (μ,σ(μ)) 组成一条曲线,叫做有效前沿 (efficient frontier)。本文将致力于解决上述的方差最小化问题,并计算出有效前沿的闭合式公式。
拉格朗日乘子法
在拉格朗日乘子的文章中,我们提到了一个重要的定理:
定义函数
解决马科维兹最优化问题
我们稍微更改原本的问题:
目标函数中的 1/2 不改变问题的本质,但它可以让后边的计算过程更干净。上边的问题也可以改写成矩阵的形式
在这些符号中,
在解题之前我们确认这个规划问题的极小点是存在的。首先,目标函数(也就是方差)是一个凸函数:对于任何两个随机变量 X 和 Y 有
步骤 (∗) 是因为
在此之上,规划问题的可行集
是由两个线性约束决定的,因此它是一个凸集。根据数学规划简介所述,一个凸函数在一个凸集上必定有极小点,即
是有解的。以上逻辑所涉及到的理论会在以后的凸优化文章中更详细地解释。
下面我们着手解决上述规划问题。根据拉格朗日乘子定理,我们定义函数
并计算它的各个偏导,
上面的第一条可以改写成矩阵的形式,表示为
将梯度 ∇L设为 0,即
代入 (†),有
这里注意因为协方差矩阵 Σ 是对称的,根据线性代数和对称矩阵的一些基本性质,有
上面的两个等式可以写为矩阵形式,即
那么,如果我们设
可以解出
然后利用 (†) 的等式
两个矩阵的可逆性
在这一节中我们将发现有两个假设可以保证矩阵 Σ 和的可逆性。它们是:
1.如果任何一组风险资产都不能配置出无风险资产,那么 Σ 是可逆的,即公式 (†) 成立;
2.如果不是所有风险资产的收益率期望都是相等的,那么是可逆的,即公式 (††) 成立。
接下来将展示上述结论的推导,这需要使用正定矩阵和半正定矩阵的相关理论。在线搜索方法的文章中我们介绍过正定矩阵和半正定矩阵的定义,这里重温一下:
模型的意思是在回答要获取到某期望收益下,最小风险应该持有哪些资产,思想比较简单,意义就在于首次拿数学算出来了,为日后金融发展打下基础。文章有些长是因为我们提供了较为难找的细节。
这篇文章主要还是面向那些对金融理论想要深入学习和了解的人,确实是小群体。如果有兴趣但直接看看不懂,可以先看相对基础的内容,文章中有前置文章的连接。如果有些地方我们没有文章来解释,是由于我们人手有限,可以先百度一下。
难确实是有些难,但是对于有志于做好量化交易的人来说,还是需要了解的。