如何配置资产?--现代资产配置(MPT)理论


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导语:资本市场上有诸多风险资产,各有不同的收益率和波动率。为了分散风险,我们一般会同时持有多种不同的资产,但是如何合理地进行配置是个难题。配置不好的话可能不光分散了风险,也对冲没了收益。本文要介绍的,就是著名的现代资产配置(MPT)理论。

阅读本文需要掌握效用和风险模型(level-1)的知识。

本文是一系列文章中的第三篇。本系列从基础概念入手,推导出 CAPM 模型。系列中共有四篇:

效用模型
风险模型

MPT 模型

CAPM 模型

概述

金融资产配置的目标是将投资资金合理地分配在多种资产上,在将风险控制在一定范围内的同时把收益率最大化。其中最著名的理论是现代资产配置理论(Modern Portfoilio Theory),简称 MPT,由 Markowitz 在1952年提出。MPT 的核心思想是以最小化标准差(或同理的,方差)并最大化预期收益为目标来进行资产配置,有时也称为均值-方差分析(Mean-Variance Analysis),是金融经济学的一个重要基础理论。

模型和假设

在 MPT 模型中,我们假设投资者对一个资产的风险的认知等同于该资产的收益率变量的标准差(见风险模型)。因此,任何一个资产或者资产组合都可以根据其收益和风险被放在一个二维图坐标图上,该图的横轴是收益率的标准差,竖轴是收益率的预期值。

投资者追求的是风险低并且收益高的资产配置。因此,固定收益率不变,我们要将风险降到最低,也就是要得到最小的横轴值;或者固定风险不变,将收益率提升到最高,也就是要得到最大的竖轴值。

假设市场上有 n 种不同的金融资产(可以狭义地想象为股票) 1,2,…,n。对于某一资产 i ,用 ri 表示该资产的收益率的随机变量,E[ri] 表示收益率的预期,σi 表示 ri 的标准差。

我们将市场上所有收益率方差大于 0 的资产叫做风险资产(risky assts),将收益率没有不确定性的资产叫做无风险资产(risk-free assets)。并且,假设市场上所有无风险资产的收益率是一样的,叫做无风险利率(risk-free interest rate),写作 rf。

一个风险资产配置(risky portfolio) P 是由风险资产 i=1,2,…,n 按照某个权重比例组成的,每一个资产 i 在 P 中的权重是 wi,满足 JoinQuant聚宽。我们假设市场是完全开放的,并且可以无限制地买多或卖空,因此 wi 可以是任何实数。

根据单个资产的收益率,可以计算资产配置 P 的收益变量的一些性质。首先,资产组合收益率的随机变量是

JoinQuant聚宽它的预期收益是JoinQuant聚宽方差是JoinQuant聚宽并且有标准差

JoinQuant聚宽

有效前沿

现在,我们固定预期收益,然后拥有该预期收益,并且标准差最小的资产组合。也就是说,对于任意一个预期收益值 μ,找到一个由配置权重 w=(w1,w2,…,wn) 定义的资产配置 P,要求 P 的预期收益率为 μ,并且,在所有可以配置出的预期收益为 μ 的组合中,P的方差是最小的。用最优化问题表示出来的话,就是

JoinQuant聚宽这个问题的最佳解用 Lagrange 乘子的方法可以找出,但解决过程比较复杂,这里就不多做解释。对于每一个值 μ,我们求得一个风险资产配置 P,满足 E[rP]=μ,并且 σP 是最小的。将这些最优解画成图,在标准差-预期的坐标上得到一条抛物线。根据计算所用到的资产的信息不同,这根曲线会不尽相同,但基本上遵循这个形状。

JoinQuant聚宽这条曲线被叫做有效前沿(efficient frontier)。由于它的形状像一枚子弹尖,所以有时也叫做马科维兹子弹(Markowitz bullet)。有效前沿存在一个波动率最小的位置,也就是图中曲线最靠左的地方,并且在这个点以上的位置才是真正“有效”的;我们是固定预期收益算得的最低风险而得到的这条曲线,如果再固定风险并选择最大的预期收益,则会筛选掉有效前沿的下半部分。所以,很多时候人们所说的“有效前沿”会特指上半部分。

我们举个例子。风险资产采用从沪深三百股票池中随机选出的五支股票,取 2014 年到 2016 年的所有收盘价数据,经计算得出它们的平均日均收益率分别是

JoinQuant聚宽并且收益率的标准差是

JoinQuant聚宽画在协方差-预期轴上,如下JoinQuant聚宽图中的五个蓝色三角是我们模型中选用的五支股票;背景中的粉点是沪深三百中的其他股票,作为参考。

计算这五支股票收益率的协方差,得到矩阵JoinQuant聚宽

这个矩阵的 (i,j)位置是第 i 和第 j 个资产之间的协方差。通过穷举出用五支股票可以组成的资产配置(允许一定限度的卖空),绘出一个看起来很好吃的图

JoinQuant聚宽图中的每一个点代表一个风险资产组合,颜色偏绿代表夏普比率高,偏紫的代表夏普比率低(下一节会介绍夏普比率)。图中最左侧勾勒出来的曲线就是以这五支股票所构成的有效前沿,是在固定收益率的情况下能配置出的最小标准差。

有效前沿上风险最少的配置(最左侧的顶点)有标准差 0.0212,并且有预期收益率 0.00202。

JoinQuant聚宽

上图中紫色五角星就是最低风险的配置,它的预期收益大约是五支股票的平均,但风险要小于其中的每一支。

理论上的有效前沿是无限延伸的,并且前沿右侧的所有空间都是可以通过配置这五支股票得到。因为计算量的有限性,看上去很好吃的图里只包含了可行资产配置里的一部分,不过其中已经包括了本模型中最重要的一个股票组合。是什么呢?

加入无风险资产

有效前沿左侧的区域是通过风险资产无法配置出的。但是!如果把无风险资产加入资产配置,那么左侧的一些位置是可以获取的。

我们选择有效前沿上的一个资产配置 P,并选择比例 α≥0,将本金的 α 配置于 P,并将 1−α 配置于无风险资产。如果 α≤1,那么 1−α≥0,也就是说,我们将 1−α 倍的本金存入银行或买入债券,获取那部分的无风险利率。如果 α≥1,那么 1−α≤0,意思是,我们贷款本金 α−1 倍的资金,支付无风险利率,并用贷款连同本金一并配置于 P。如此,以 α 为系数,使用 P 和无风险资产配制出一个组合,我们将它的收益随机变量记为 rα。计算得到

JoinQuant聚宽和上面的有效前沿的计算不同,这里 σα 和 E[rα] 不是复杂的多项式关系,而是简单的线性关系。因此,将所有 α≥0 所对应的点画出,我们得到的是穿过 (0,rf) 和 (σP,E[rP])的整条射线。

JoinQuant聚宽如上图所示,如果蓝点是无风险利率,红点是一个有效前沿上的风险资产配置 P,那么黄线上的所有点都是可以按照一定比例配置无风险资产和 P得到的。

使用常用的直线坡度计算方法,所得的黄线的坡度是 P 和 无风险资产的收益差除以它们的标准差的差。也就是,

JoinQuant聚宽这就是著名的夏普比率(Sharpe ratio)

市场组合和资本市场线

经计算可以证明,用市场信息计算得来的有效前沿上必定有一个夏普比率最高的点,我们将其叫做市场组合(market portfolio)

我们知道,一个配置的夏普比率等同于连接无风险资产和这个配置的直线的坡度;那么市场组合的夏普比率最高,就意味着它连接无风险资产的线坡度最陡。因此,这条线必定与有效前沿构成切线关系,如下图所示。

JoinQuant聚宽

图中的蓝点是无风险资产,红点是市场组合,穿过它们的射线叫做资本市场线(capital market line)。红点和蓝点之间的位置是将一份资金存于无风险资产,并将余下资金买入市场组合而得到的;红点右侧的位置是以无风险利率进行一些贷款,并将本金连同贷款全部买入市场组合的配置。

设无风险利率为 rf,市场组合为 M,并且市场组合的夏普比率为 JoinQuant聚宽的话,资本市场线的公式为

JoinQuant聚宽

资本市场线的意义在于,固定标准差,那么市场上收益预期最高的投资组合在这条线上;或者,固定预期收益,那么市场上标准差最低的投资组合在这条线上。所以,资本配置线可以直观地理解为理论上的“最佳配置线”。

实际中,无风险利率不是唯一的,贷款和存款所支付的利率也不是一样的。为了方便起见,我们一般会把国债的利率作为模型中的无风险利率。

现在,在之前的示例中加入无风险资产进行计算。按国债年化利率为 4% 来计算,无风险的日化利率为

JoinQuant聚宽计算得知,有效前沿上最高的夏普比率是 0.11885,由此得知资本市场线的公式为

JoinQuant聚宽将资本市场线画出,如下

JoinQuant聚宽

资本市场线和有效前沿相切在夏普比率最高的资产配制上,我们将这个组合称作 M。计算可得,该组合的日化预期收益率为 E[rM]=0.0037746,并且标准差为 σM=0.030439。将其与原生的五支股票以及最低风险组合进行对比,如下图

JoinQuant聚宽图中红色五角星是组合 M,黑线是资本市场线。

再假设,我们想用这五支股票和无风险资产配制出预期日化收益率为 0.003 并且风险最低的组合,那么就应该去资本市场线上找相应的位置。设我们要找的组合是由 α 份 M 和 1−α 份无风险资产构成的,利用资本市场线的公式倒推的标准差

JoinQuant聚宽用第四节中所述的公式

JoinQuant聚宽得出

JoinQuant聚宽因此,该组合中每个 1 元钱的配置比例为 0.786 的 M 以及 1−0.786=0.214 的国债。对应下图中的红方块。

JoinQuant聚宽

这个新的股票组合的预期收益率高于它的五个成分股,但风险比其中的每一支都低。

结语

一个资产组合的预期收益是它的成分资产的线性加权平均,但组合的波动性和风险却更复杂,是由成分资产两两之间的相关性决定的。在 MPT 模型的分析中,通过合理地配置资产,可以在保证高收益的同时也降低风险。理论上,最优的风险组合就是夏普比率最高的市场组合。在本系列的下一篇文章中,我们将介绍著名的 CAPM 模型:在已知市场组合的定价的情况下,该如何推算市场上其他风险资产(或风险组合)的收益率。

到JoinQuant查看策略并与作者交流讨论:【量化课堂】MPT 模型

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精彩评论

___w 2016-10-26 01:30

每天上课就是这些,考FRM复习也是这些,没想到上雪球扯淡也是这些,笑哭。

输和远方 2016-10-26 02:26

太有道理啦,能看懂公式的不會來雪球了哈哈

陈达美股投资 2016-10-26 00:47

不错的文章帮你转发,但是提个建议,在雪球还是要以讲故事为主,每增加一个公式就减少1000个读者其实预期收益、方差和标准差之类完全没必要上公式...

闫灵御 2016-10-26 11:05

公式并不复杂,基本的统计学概念,难得的是这一套思考逻辑

全部评论

Vincentxj 2016-10-30 14:25

聚宽也来混雪球…

aspen_liu 2016-10-27 07:43

这还不是估计的问题,估计是统计。但所有金融里的东西都不仅仅是统计,各种模型最后需要的都是预期而非历史,拿历史来估计未来是不得已没有其他办法而为之。所以,即使拥有无尽的样本,但是无法客服这个问题的话,参数一多精确性也就没掉了。

久夏 2016-10-26 21:59

其實類似 格雷厄姆的 股債平衡策略。

陈达美股投资 2016-10-26 21:44

对,受众不同,愿者上钩了

黑夜里的刀 2016-10-26 18:23

看着  高大上   的文章   实际上在股市的实战中是--------然并卵。  
     说句不客气的,还类的东西还不如扔飞镖的结果。哈哈

我是股神的小腿毛 2016-10-26 13:15

额,看到这些公式有种重学金融课的感觉,收藏一下,认真读读

最爱月光白 2016-10-26 13:08

我又没说卖数据和公式不好。。

半分之间 2016-10-26 12:49

好复杂,我只有小学水平的人,完全看不懂啊,能看懂的人真心觉得他们很厉害。

灯火阑珊处N 2016-10-26 12:38

额(⊙o⊙)…看了看老师的主页,好像是哎

黑夜中的新星 2016-10-26 12:18

所有可以配置出的预期收益为 μ 的组合中,P的方差是最小的,解释下方差最小为何就是,最优化。

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