博弈的艺术(IV) -- 共同知识2013-06-23


文/岩心资本研究部

所谓的共同知识,指的是博弈中各方在无穷递归意义上均知悉的事实。共同知识对理解一个群体内的个体相互之间的行为策略有着极大的影响。今天我们简单讲两个实例来聊聊共同知识。相信读过这两个故事后,对于一些经常出现的热门事件,例如热炒房产、疯抢黄金等,您会有不同的体会和思考。

第一个游戏

假设您与其他的99位选手参加同一个比赛,比赛的题目是这样的:每个人写下一个1~100之间的数字(该数字只有参赛选手自己知道)并上交给主持人,最终与所有人数字平均数的2/3最接近的那个选手将会获得万元大奖。这个时候你会选择什么数字?

从博弈的角度来看,虽然每个人的可选策略有100个(分别为1~100的整数),但第一步即可将上述策略分为两类,大于67的大数策略和小于等于67的小数策略。假设每个人都选择最大的数字100,那么所有人平均数的2/3为66.6。而在实际比赛中基本不可能出现所有人都选择100的情况,因此最终的平均数只会小于66.6.也就是说,所有选择大数策略的选手都不可能获奖。如果从收益的角度来看,大数策略的预期收益为0(不可能获奖)。因此,如果所有选手都是从理性角度出发,就不会有人选择大于67的数字作为自己的策略。

在此基础上进一步推理,在排除了大于67的数字后,假设所有人都选择了可选择策略(1~67)中最大的数字67,那么最终的平均数即为44.6。也就是说,大于45的数也不可能获奖,那么45~67的策略收益同样为0,不会有人选择大于45的数作为自己的策略。

按照上面的逻辑类推,较大数字的策略就会不断的被排除。最终的答案也就很明显了---1.所有人最终都会选择1作为自己的策略,最后大家平分奖金。而在此过程中不会有人对自己的策略进行改变。因为1个人选择大数不会对最终的平均数造成很大偏离,(假设99个人都选择了1,1个人选择了其他的数字,对平均数造成相对于1的偏移小于此人所选数字相对于平均数的偏移。最终只会让他失去分配奖金的机会)。

当然,上述推理过程纯属理性推理。事实上,这个游戏曾经作为耶鲁大学博弈论课程的课堂游戏进行过多次,但是最终的获奖者都不是选择1的学生。(在最近几年的游戏中,最大的平均数为23,最小的为7)。造成这个结果的原因就在于共同知识的缺乏。

以这个游戏为例,某个选手知道按照博弈的推理,最优的选择是1,但这并不能确定最终的决策,他还需要知道其他的99位都知道最优选择是1,并且知道其他人也都知道他知道最优选择是1,并且需要知道……,经过这种“我知道你知道我知道你知道……”的无穷递归,确定所有的参与者对于事实情况都完全了解,不存在任何分歧后,最终的结果才会与博弈推理的结果相同。

这个实验其实是群体博弈中的定价行为的一个例子,对于我们研究市场的定价行为极有帮助。在上述案例中,相当一部分人选择了大于1的数字。在这部分人中也分两种情况,有一部分人对于“选择1是最优策略”这个事实完全不了解,这部分人的最终选择可能是1~100之间的任何一个数字。还有一部分人了解“选择1是最优策略”这个事实,但同时认识到“不是所有人都具备这个知识”这种可能性,因此选择了一个相对较小(通常小于20)同时又大于1的数。事实上这部分人的中奖概率是最高的。

第二个游戏

关于共同知识,还有这样的一个故事:

在火车的窗户边上坐着3个人,在火车穿过山洞时,3个人的脸上都落了灰。3个人都看到其他2个人的脸上有脏东西,但是出于礼貌都没有说话。这时,旁边路过的一个老人说了一句:你们3个人中至少有一个人的脸是脏的。3个人互相看了看,然后同时起身去洗手间洗脸去了。

这个故事中的开始阶段,3个人都具有相互知识,即互相知道对方的脸是脏的,但不清楚自己的脸是否是脏的。此时3个人都无法完成判断。

而后老者出现,并且为3个人提供了一个知识:至少有一个人的脸是脏的。3个人都听到并且确定其他人也都听到并且确定其他人知道他听到并且……。因此“至少有一个人的脸是脏的”成为了3个人的共同知识。

而后3人开始第一轮判断:在他们眼前有2个人的脸是脏的,因此没有人起身。

紧接着是第二轮判断,3个人都没有起身,也就意味着3个人眼前至少都有1个脏脸,也就是说,至少得有2个人的脸是脏的,否则会有一个人看不到脏脸从而意识到自己的脸是脏的。

第三轮判断,3个人都认识到至少有2个脏脸,而仍然没有人起身,说明每个人的眼前至少有2个脏脸,也就是说:3个人的脸都是脏的。于是3个人同时起身。

在这个故事中,共同知识对于逻辑推理的帮助是十分巨大的,在开始阶段,仅有相互知识却没有共同知识,3个人都无法完成推理,但是在具有了一个简单的共同知识(这个共同知识只是现实的很小一部分,至少一个人脸是脏的和3个人脸都脏)之后,3个人就能很顺利的完成推理。在很多时候,共同知识是完成推理和博弈的出发点和必要条件。

这则故事似乎是金融市场中危机爆发的过程的一个描述。在危机爆发之前,似乎人人都觉得对方有问题,自己还是安全的,但是忽然一个声音告诉我们,人人都可能有问题时,经过短暂的暗流涌动,忽然人人都冲向了那个救命的安全门,市场秩序完全错乱,危机瞬间爆发。

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