一、凯利公式
1956年，科学家凯利就提出了著名的凯利公式：F = (bp – q) / b 。 其中F代表投注资金占总资金的比例，p代表获胜的概率，q代表失败的概率，q=1-p，b代表赔率。公式中分子bp-q代表“赢面”，数学叫“期望值”。例如，如果获胜的概率是60%，赔率是1：0.8，则赢面是0.8*60%-40%=8%，即押100元平均赢8元。F = 8%/0.8 = 10%，每次合理下注金额是总赌本的10%。如果获胜概率是51%，赔率是1，则赢面为1*51% - 49% = 2%，假设总赌本为1000元，每次押注20元比较合理。
二、赌球
下面分析两个日常碰到的赌局：一是赌足球，如果甲乙两个球队势均力敌，90分钟平的概率是50%，甲队赢的概率是25%，输的也概率是25%。赌场给出平的赔率是1：1.2，甲队赢或输的赔率都是1：2.6。你押哪一个？我们来分别计算三种情况的赢面：平的赢面 = 1.2*50% - 50% = 10%；赢或输的赢面 = 2.6*25% - 75% = -10%。根据结果，押平的赢面为正10%，而押输或赢的赢面为负10%，押平机会大，只有正期望值的游戏才可以下注！
表面上看，平的概率是50%，输或赢的概率是25%，输的赔率大于平的两倍（2.6 > 1.2*2），好像押注输或赢才合算。根据凯利公式知道，我们没有考虑投注失败的概率对期望值的影响，平的失败概率是50%，而输或赢的失败概率是75%。
三、牌九
我们老家的牌九一共有32张牌（如下图），玩法是用任意两张牌来比大小，成对的牌比牌的大小，非对子（除黄牌外）先比点数再比牌的大小定输赢。一般是一个庄家与三个玩家对赌，但庄家有一点优势，就是相同点数和大小的牌，庄家赢，另外除2或12带8外，其它合计的点数为10或20的牌都是算0点，0点牌庄家通吃。32张牌可以出现496种可能（32*31/2=496），而0点出现的可能是32种，根据统计可以算出庄家与玩家同时拿到0点牌的概率是(32/496)X(31/495)=0.4%，另外庄家和玩家同时拿到相同点数和大小牌的概率约为0.1%（计算较复杂，这里就不具体介绍）。因此，理论上庄家赢牌的概率是50.5%。
如果赔率是1（具体赔率要根据押注的方式和牌的大小），那么庄家的赢面是1*50.5%-49.5%=1%,押注的合理大小也是1%，理论上，如果庄家用1000元坐庄，每次合理的押注大小为10元，而庄家面对3个玩家，所以，每个玩家每次押注不高于3.33元，庄家就很难破产“摊庄”。而实际情况是，押注的大小不取决于庄家，而是玩家决定的，如果玩家押注太大，庄家也很容易破产。
如果庄家有无限量的资金，可以一直赌下去，即使他的赢面只有1%，也是“久赌必赢”。但对玩家来说，他的赢面是负的(1*49.5%-50.5%=-1%)，所以,玩家是“久赌必输”。在此，我奉劝大家不要参与这类赌局。不管你是庄家还是玩家，最后都会输得精光。虽然庄家有1%的赢面，但押注的大小取决于玩家，而且你也不可能有无限的赌本一直赌下去。这里的庄家与赌场坐庄还不一样，轮盘赌赌场坐庄的赢面是2.70%（欧式）或5.26%（美式），后面我会详细解释。
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浩清
2016年3月3日
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